Analisis Multivariado 1 (Apunte basado en notas de clases del ...

.
(up, vp) = argmax
u=1, v=1, u ′ ui=0 y v ′ u
vi=0
′ Mv con up ′ Mvp = λp
para i = 1, 2, . . . p − 1.
Asi los valores singulares λ1 ≥ λ2 ≥ λ3 ≥ . . . ≥ λd son los valores
maximos de las formas bilineales y estos maximos se obtienen
evaluando la forma en los vectores singulares u1, u2, u3, · · · , up y
v1, v2, v3, · · · , vp.
18.2.2 La SVD como metodo de aproximacion de matrices
Dada la matriz no necesariamente simetrica M ∈ R n×p de rango p,
con n ≥ p, y la SVD de la misma
M = UΛV ′
puede demostrarse que la matriz C de rango k ≤ p que mejor
aproxima a M es
C =
k
λiuiv ′ i ≈ M =
i=1
Mas especificamente
p
i=1
λiuiv ′ i
C = argmin A − MF A:rango(A)=k
donde . F denota la norma Frobenius, es decir
A − M F
=
con A = {aij} y M = {mij}.
n
p
i=1 j=1
(aij − mij) 2
18.3 Ejercicio teorico basado en la Descomposicion
en Valores Singulares
Sean dos vetores aleatorios X = [x1, x2, . . . , xn] e Y = [y1, y2, . . . , yp],
usando la Descomposicion en Valores Singulares, caracterice y describa
la relacion entre X e Y.
Sugerencia: Inspirese en el analisis realizado bajo la tecnica de
Componentes Principales.
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