Analisis Multivariado 1 (Apunte basado en notas de clases del ...

H
sabemos que
mn
m + n (ˆ δ − b) ′ Σ −1 ( ˆ δ − b) ∼ χ 2 d
entonces si λ = 1
2 , de tal forma que λ = 1 − λ, y bajo la hipotesis
T 2 d,m+n−2 = mn
m + n (ˆ δ − b) ′ S ∗−1 ( ˆ δ − b) D
−→ χ 2 d
si queremos un estadistico con un comportamiento ’razonable’ para
cualquier λ podriamos definir
SP = (n−1)S∗ X +(m−1)S∗ Y
n+m−2
de esta forma nos aseguramos que
−→ λΣX + (1 − λ) ΣY
mn
m + n (ˆδ − b) ′ S P −1 (ˆδ − b) D
−→ χ 2 d
14 Distancia de Mahalanobis
Sean X1 ∈ R d y X2 ∈ R d dos observaciones multivariadas y Σ una
matriz simetrica definida positiva (generalmente la matriz de varianzascovarianzas),
se define la distancia de Mahalanobis entre X1 y X2 a
DMΣ(X1, X2) = (X1 − X2) ′ Σ −1 (X1 − X2)
es equivalente a la distancia euclidea cuadrada de las observaciones
transformadas Z1 = Σ −1/2 X1 e Z2 = Σ −1/2 X2, es decir
DMΣ(X1, X2) = (X1 − X2) ′ Σ −1 (X1 − X2) =
= (X1 − X2) ′ Σ −1/2 Σ −1/2 (X1 − X2) =
= (Σ −1/2 (X1 − X2)) ′ (Σ −1/2 (X1 − X2)) = D 2 (Z1, Z2)
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