Analisis Multivariado 1 (Apunte basado en notas de clases del ...

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X 2 Distancia de Mahalanobis E 14.1 Descomposicion de la Distancia de Mahalanobis Let T 2 be the Mahalanobis distance, the MYT decomposition is C 1 T 2 = T 2 1 +T 2 2/1 + T 2 3/1,2 + T 2 4/1,2,3 + . . . + T 2 p/1,2,3,4,...,p−1 where the first and last term are T 2 1 = (x1−x2 1 )2 S2 2 Tp/1,2,3,4,...,p−1 1 and = (xp−x 2 p/1,2,3,4,...,p−1 )2 S2 p/1,2,3,4,··· ,p−1 We define the contribution of variable p to the distance as Cp = T 2 p/1,2,3,4,...,p−1 T 2 because all terms are positive, the contribution satisfies 0 ≤ Cp ≤ 1 From now on we will call If in a certain day happens that T 2 is big, and T 2 p/1,2,3,4,...,p−1 is close to 1, then the station/variable p is wrong, because T 2 j/Aj is small for all j∈ {1, 2, 3, 4, . . . , p − 1} and Aj ⊆ {1, 2, 3, 4, . . . , j − 1, j + 1, . . . , p − 1} The p relevant decompositions are T 2 = T 2 2 +T 2 3/2 + T 2 4/2,3 + T 2 5/2,3,4 + . . . + T 2 1/2,3,4,...,p T 2 = T 2 1 +T 2 3/1 + T 2 4/1,3 + T 2 5/1,3,4 + . . . + T 2 2/1,3,4,...,p T 2 = T 2 1 +T 2 2/1 + T 2 4/1,2 + T 2 5/1,2,4 + . . . + T 2 3/1,2,4,...,p . T 2 = T 2 1 +T 2 2/1 + T 2 3/1,2 + T 2 4/1,2,3 + . . . + T 2 p−1/1,2,3,4,...,p−2,p T 2 = T 2 1 +T 2 2/1 + T 2 3/1,2 + T 2 4/1,2,3 + . . . + T 2 p/1,2,3,4,...,p−1 28 C 2 X 1
14.2 Aplicacion a control de procesos El control de procesos variable por variable no resulta X 1 Control Univariado T X 2 15 Inferencia sobre Matrices de Covarianza - Test de independencia por bloques Sea X1, X2, X3, · · · , Xn una muestra aleatoria de vectores con distribucion Nd(µ, Σ), particionamos el vector X de la siguiente manera donde por lo que y X = X (1) X (2) T dim(X (1) ) = d1 dim(X (2) ) = d2 µ = Σ = µ (1) µ (2) Σ11 Σ12 Σ21 Σ22 La hipotesis que queremos testear es: H0 : independencia entre X (1) y X (2) , es decir H0 : Σ12 = Σ ′ 21 = 0d1×d2 29 X d T
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