Analisis Multivariado 1 (Apunte basado en notas de clases del ...

hj(x) =
C(j|i)πifi(x)
i=j
que puede ser interpretado como el costo esperado de clasificar mal
en la poblacion j una obsrvacion con valores observados x.
Veamos que si elegimos las regiones (i.e. la particion) siguiendo la
regla anterior entonces el Error Esperado de Prediccion es minimo, o
sea
Regla ⇒ Min EP
Equivalentemente, basta con demostrar que si tomamos una particion
(que llamaremos P2) que no minimiza el Error Esperao de Prediccion
entonces la regla anterior no se cumple, asi
Min EP ⇒ Regla
Supongamos que las densidades poblaciones fi(x) (para i = 1 . . . K)
son continuas, y sean dos metodos de clasificacion distintos g p1 () y
g p2 () que inducen respectivamente las particiones p1 y p2. Y supongamos
que EP (g p1 ) < EP (g p2 ), es decir
ˆ
ˆ
. . .
x∈R
<
ˆ
k
I(X ∈ R p1
j )hj(x)dx = ´ . . . ´
H1 (x)dx <
j=1
ˆ
. . .
x∈R
k
j=1
x∈R
I(X ∈ R p2
j )hj(x)dx
ˆ
=
ˆ
. . .
x∈R
H 2 (x)dx
entonces, como las hj(x) son continuas (pues las fi(x) lo son),
existe una bola Bɛ(x0) ⊂ R d que satisface
ˆ
ˆ
. . .
x∈Bɛ(x0)
H 1 (x)dx <
ˆ
ˆ
. . .
x∈Bɛ(x0)
H 2 (x)dx
por lo que debe existir un x1 ∈ Bɛ(x0) que cumple H 1 (x1) <
H 2 (x1) o, lo que es lo mismo
hj ∗(x1) < hj ∗∗(x1)
para algun par de regiones R p1
j∗ y Rp1 j∗∗ de las respectivas particiones.
Lo cual muestra que para la particion (metodo) p2 no se
cumple la regla.
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