Analisis Multivariado 1 (Apunte basado en notas de clases del ...

Asi, E(X) = µ y V AR(X) = Σ
Si Y = Σ −1/2 (X−µ) entonces Y ∼ N(0, I) por lo que Y1, Y2 . . . Y n
son v.a. N(0, 1) independientes.
Propiedad importante: Sea A ∈ R hxd con rg(A) = h y b ∈ R h
entonces
Si Z = AX + b =⇒Z ∼ Nh(Aµ + b, AΣA ′ )
Corolario importante: Tomando como A = e ′ i ∈ R1×d los canonicos
en R d se deduce que las marginales de un vector normal son
tambien variables (unidimensionales) normales.
Caso particular bivariado:
4.1 Algunas Propiedades
• Sean yi ∼ Nd (µi, Σi) independientes (1 ≤ i ≤ n) . Se prueba
.
que n
i=1 aiyi ∼ Nd
n
i=1 aiµi, n
i=1 a2 i Σi
– Sea X1, . . . , Xn una m.a. de vectores Nd (0, Σ). Formemos
la matriz X ′ = (X1, . . . , Xn) ∈ R d×n .
∗ Si a de n×1 es un vector no aleatorio, entonces X ′
a ∼
0, a 2
Σ .
Nd
∗ Si {a1, . . . , ar} es un conjunto de vectores ortogonales
no aleatorios, entonces los vectores aleatorios ui =
X ′ ai (1 ≤ i ≤ r) son independientes.
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