Analisis Multivariado 1 (Apunte basado en notas de clases del ...

E( ˆ n i=1 Σ) = E(
′
(Xi−X)(Xi−X)
n ) = 1
nE = (n − 1)
n Σ
n
i=1
XiX ′ i − nXX ′
=
(ver ejercicio de la practica y siguiente demostracion).
Por ultimo calculemos el valor de la (log) verosimilitud en el maximo
ln L(X1, X2, X3, · · · , Xn, µ = X, S) = LL(X1, X2, X3, · · · , Xn, µ = X, Σ = S) =
= − nd
2
= − nd
2
= − nd
2
= − nd
2
= − nd
2
n
1 n
ln(2π) − 2 ln(|S|) − 2 i=1 (Xi − X) ′ S−1 (Xi − X) =
n ln(2π) − 2 ln(|S|) − T r 1 n
2 i=1 (Xi − X) ′ S−1 (Xi − X) =
n
1 n
ln(2π) − 2 ln(|S|) − 2 i=1 T r (Xi − X) ′ S−1 (Xi − X) =
n
1 n
ln(2π) − 2 ln(|S|) − 2 i=1 T r S−1 (Xi − X)(Xi − X) ′ =
n
1
ln(2π) − 2 ln(|S|) − 2T r S−1 n i=1 (Xi − X)(Xi − X) ′ =
= − nd
2
= − nd
2
n
1
ln(2π) − 2 ln(|S|) − 2T r S−1nS =
= − nd
2
n
n
ln(2π) − 2 ln(|S|) − 2 T r (Id) =
n
nd
ln(2π) − 2 ln(|S|) − 2
6.1 Propiedades estadisticas de los estimadores maximoverosimiles
Veremos que:
• X y Q son independientes
• X se distribuye como Nd(µ, Σ
n ), o sea, √ n(X − µ) ∼ Nd(µ, Σ)
• Q se distribuye como Wd(n − 1, Σ)
15