Analisis Multivariado 1 (Apunte basado en notas de clases del ...

V AR(Y2) = V AR (t ′ 2X) = t ′ 2Σt2 = λ2
.
V AR(Yk) = V AR (t ′ kX) = t ′ kΣtk = λk
.
V AR(Yd) = V AR (t ′ dX) = t ′ dΣtd = λd
y con covarianzas nulas, es decir COV (Yj, Yi) = 0 para i = j.
Resulta de importancia el siguiente cociente
es claro que
P roporcion de varianzas(k) =
0 ≤
k
i=1 λi
d
i=1 λi
≤ 1
k
i=1 λi
d
i=1 λi
y nos gustaria hallar un valor pequenio de k (i.e. k = 2) que
de una proporcion de varianzas alta (i.e. ≥ 0.8). De ocurrir esto, y
recordando el Teorema de la Descomposicion Espectral tenemos
Σ = T ΛT ′ =
d
i=1
λitit ′ i
≈
k
i=1
λitit ′ i
De esta forma, la Proporcion de varianzas antes definida puede ser
considerada tanto como:
• La proporcion de de las sumas de las varianzas retenidas por las
primeras k componentes principales. Esto solo involucra a las
varianzas.
• La bondad de aproximacion de la matriz de varianzas-covarianzas
producida por los k autovectores principales. Esto ultimo involucra
a las covarianzas.
Dado que usualmente la matriz Σ es desconocida, las componentes
principales se definen en funcion de una estimacion de la misma Σ =
S ∗ . De esta manera todas las propiedades relacionadas con varianzas
y covarianzas se cumplen a nivel muestral (no necesariamente poblacional).
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