Analisis Multivariado 1 (Apunte basado en notas de clases del ...

– |I ± A| = d
(1 ± λi)
i=1
– A ≥ 0 ⇔ λi ≥ 0 ∀i.
– A > 0 ⇔ λi > 0 ∀i.
– A ≥ 0 y |A| = 0 ⇒ A > 0.
– A > 0 ⇒ A −1 > 0.
– A > 0 ⇔ existe R ∈ R d×d no singular tal que A = RR ′ ⇔
existe una matriz ortogonal B ∈ R d×d tal que si Λ =
diag(λ1, λ2, . . . , λd) con λi > 0 ∀i entonces A = BΛB ′
(es lo que se denomina descomposición espectral de A).
– A ≥ 0 de rango r ⇔ existe R ∈ R d×d de rango r tal que
A = RR ′ ⇔ existe una matriz ortogonal B ∈ R d×d tal
que si Λ = diag(λ1, λ2, . . . , λd) con λi ≥ 0 ∀i entonces
A = BΛB ′ .
• La matriz P de d × d se dice de proyección si es simétrica e
idempotente (es decir, P 2 = P ). Se cumple lo siguiente:
– rg (P ) = r ⇔ λi = 1 para i = 1, . . . , r y λi = 0 para
i = r + 1, . . . , d. Entonces P = r
tit ′ i para ciertos ti orto-
normales.
– rg (P ) = tr (P ) .
– I − P también es de proyección.
• Sea X de n × p y de rango p. La matriz P = X (X ′ X) −1 X ′ es
una matriz de proyección.
• Vector de medias X =
n
i=1 Xi
n
• Si X e Y son vectores aleatorios (no necesariamente de la misma
dimensión) se puede ver que:
i=1
– COV (X, Y) = E XY ′ − E (X) E (Y ′ ) .
– COV (AX, BY) = A COV (X, Y) B ′ .
– Si a es un vector no aleatorio, V AR (X − a) = V AR (X) .
– V AR (AX) = A V AR (X) A ′ .
• Sea X1, . . . , Xn una muestra de vectores aleatorios de dimensión
d con varianza Σ y {ai} 1≤i≤n , {bi} 1≤i≤n escalares no aleatorios.
Se cumple:
n
– V AR
– COV
aiXi
i=1
n
n
=
a
i=1
2 i
aiXi,
i=1
n
bjXj
j=1
Σ.
= O ⇔ n
aibi = 0.
– Si X ∼ (µ, Σ) y A es simétrica, entonces E (X ′ AX) =
tr (AΣ) + µ ′ Aµ.
• Sea X1, . . . , Xn una m.a. con parametros (µ, Σ). Se puede ver
que:
3
i=1