ejercicios de cálculo diferencial en funciones de varias variables

) Aplicando la definición de derivada direccional, se verifica que
(0 + 1 0+2) − (0 0)
(0 0) = lim
→0
=
12
2 1 + 2 2
lim
→0
sen (1)
= 2 12
2 1 + 2 .
2
= lim
→0
2 12 sen(1)
2 ( 2 1 +2 2)
c) Aplicando la definición de derivada direccional, se verifica que
(0 + 1 0+2) − (0 0)
(0 0) = lim
= lim
→0
→0
= lim
→0
−4 2 1 4 2
(2 1 + 24 =0.
2 )2
− 0
( 2 1−2 4 2) 2
(2 1 +24 2) 2 − 1
Por tanto, esta función admite derivada direccional en el punto (0 0) según
cualquier vector (unitario) , y dicha derivada direccional es siempre nula. Sin
embargo, observa que esta función no es continua en (0 0),yaque lim ( )
()→(00)
no existe (se llega a esta conclusión utilizando aproximaciones al origen según
parábolas del tipo 2 = ), ni diferenciable en (0 0) (por no ser continua en
(0 0).
d) Aplicando la definición de derivada direccional, se verifica que
(0 + 1 0+2) − (0 0)
(0 0) = lim
→0
=
2 1 2 2
4 1 + 4 2
1
lim
→0 .
Se pueden presentar los siguientes casos:
= lim
→0
2 12 2
4 1 +4 − 0
2 =
• Si 12 6= 0, no existe derivada direccional de la función dada en el punto
1
(0 0), ya que el límite lim
→0 no existe.
• Si 12 =0, es decir, si =(10) osi =(01), entonces existen las
derivadas direccionales de la función dada en el punto (0 0) según dichos
vectores, y son ambas nulas.
Ejercicio 4.
a) Prueba que la función : R 2 → R definida mediante
( 2 4 2
( − )
(2 +4 ) 2
para ( ) 6= (00) 1 para ( ) =(00) Matemáticas I. Prof. Ignacio López Torres
9
,
=
=