ejercicios de cálculo diferencial en funciones de varias variables

sobre el conjunto
1 + 2 + + = .
Deduce del resultado obtenido que, para cualquiera que sean los números
reales 1, 2, ... ,, con 0 para =1 2 , severifica que su media
geométrica es menor o igual que su media aritmética
Una solución.
√
12 ≤ 1 + 2 + +
.
a) Designando por e a la longitud de las aristas de la base, y por ala
altura, teniendo en cuenta que el volumen del paralelepípedo es
= ,
y que el área lateral (parte superior excluida, fondo incluido) es
= +2( + ) ,
se trata de resolver el problema de óptimos condicionados consistente en hallar
el mínimo de la función que define el coste de la construcción,
= 1 +22 ( + ) ,
sujeta a la restricción de que el volumen embalsado sea ,esdecir
= .
Aplicando el método de los multiplicadores de Lagrange, el Lagrangiano del
problema es
( ) =1 +22 ( + ) − ( − ) ,
y la condición necesaria de extremo introducida en la parte de teoría, conduce
al sistema
= 1 +22 − =0
= 1 +22 − =0
= 22 ( + ) − =0
= − ( − )=0.
Teniendo en cuenta que 0, 0, 0 (en particular, ninguna variable
puede ser nula, porque, en caso de que alguna lo fuera, no se cumpliría la
restricción), multiplicando por la primera ecuación, por la segunda, y por
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Matemáticas I. Prof. Ignacio López Torres