ejercicios de cálculo diferencial en funciones de varias variables

d) Observa que dom = R2 . Veamos que la función admite derivadas parciales
de primer orden en todos los puntos de su dominio. En efecto, aplicando
las propiedades de las funciones derivables, las reglas de derivación vistas para
funciones de una variable, y simplificando, se llega a que ∀( ) ∈ R2 \{(0 0)}
es
( ) = 22 £ (2 + 2 )log(2 + 2 )+2¤ 2 + 2
( ) = 22 £ (2 + 2 )log(2 + 2 )+2¤ 2 + 2 .
En cuanto al origen, aplicando la definición de derivada parcial, se obtiene
(0 0)
=
( 0) − (0 0) 0 − 0
lim
= lim
→0
→0 =0
(0 0)
=
(0) − (0 0) 0 − 0
lim
= lim
→0
→0 =0,
por lo que también existen derivadas parciales en dicho punto, y son ambas
nulas.
Por tanto, las funciones derivadas parciales de primer orden de quedan
definidas del modo siguiente
( ) =
( ) =
( 2 2 2 2 2 2
2 [( + )log(+ )+ ]
2 +2 ( 2 2 2 2 2 2
2 [( + )log(+ )+ ]
2 +2 para ( ) 6= (00) 0 para ( ) =(00) para ( ) 6= (00) 0 para ( ) =(00) e) Desplegando el valor absoluto, la función ( ) =| − | se puede reescribir
en la forma
½
− ( − ) para − ≤ 0
( ) =
− para − ≥ 0 ,
y sus derivadas parciales de primer orden son
( )
( )
=
=
½
−1
1
½
1
−1
para − 0
para − 0
para − 0
para − 0 .
La gráfica de esta función en el cubo [0 1] × [0 1] × [0 2] se bosqueja en la
Matemáticas I. Prof. Ignacio López Torres
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