ejercicios de cálculo diferencial en funciones de varias variables

en el punto (0 0) según cualquier vector (unitario y no nulo) =(12) ∈ R 2 .
d) De la función : R 2 → R, definida mediante
( 2 2
para ( ) 6= (00) 0 para ( ) =(00) 4 + 4
en el punto (0 0) según cualquier vector (unitario y no nulo) =(12) ∈ R 2 .
Una solución.
a) Por las propiedades de las funciones diferenciables sabemos que es
diferenciable en todos los puntos salvo en =0(en dicho punto, recuerda que
la función : R → R definida mediante () =||, obtenida haciendo =1en
, no es diferenciable en el punto =0∈ R, de donde se sigue que la función
dada, () =kk, no es diferenciable en 0 ∈ R ).
Por tanto, para todo ∈ R ,con6= 0,porserdiferenciable, podemos
aplicar la siguiente fórmula para la derivada direccional
X ()
() = = ∇() · ,
=1
y, dado que en este caso es
∙
1
∇() =
kk (12
¸
)
=
(12)
1
kk (12 )
µ
1
= √ 1
√
1
√ ,
se llega a
√ X
() = .
kk
=1
Finalmente, en el punto 0 ∈ R , aplicando la definición de derivada direccional,
las propiedades de la norma, y teniendo en cuenta que kk =1,severifica
que
() − (0) kk − 0 ||
(0) = lim
=lim =lim
→0
→0 →0
y este límite no existe, ya que
lim
→0− ||
= lim
→0− −
= −1
lim
→0 +
||
= lim
→0 +
=1.
Por tanto, no existe derivada direccional de la función () =kk en el punto
=0según el vector . Más aún, observamos que dicha función () =kk, no
admite derivada direccional en el punto =0según ningún vector (unitario) .
Matemáticas I. Prof. Ignacio López Torres
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