ejercicios de cálculo diferencial en funciones de varias variables

necesaria de extremo, se llega al sistema
= 2( − ) =0
= −2( − ) =0,
y la única solución de este sistema conduce a una recta de puntos críticos de la
forma ( ) con ∈ R.
Al aplicar la condición suficiente a estos puntos, teniendo en cuenta que de
= 2
= 2
= −2,
se sigue que ( ) =2, ( ) =2, ( ) =−2, observamos que se
verifica en dichos puntos que
( ) =2 0, | ( )| = ( ) ( ) − ( ( )) 2 =0,
por lo que nada se puede afirmar, aplicando esta condición suficiente, respecto
al caracter de los puntos ( ). Aplicando la definición de extremo local, analicemos
el signo de la expresión
( ) =( ) − ( ) =( − ) 2
para puntos ( ) pertenecientes a una bola de centro ( ). Dadoque
( ) =( ) − ( ) =( − ) 2 ≥ 0,
resulta que ( ) es no negativa en una bola de centro ( ), por lo que cada
punto ( ) es un mínimo local de la función .
f) Al ser un polinomio, se verifica que ∈ ∞ (R 2 ), por lo que se pueden
aplicar las condiciones introducidas en la parte de teoría. Al aplicar la condición
necesaria de extremo, se llega al sistema
= −4 ¡ − 2¢ =0
= 2 ¡ − 2¢ =0,
y la única solución de este sistema conduce a una parábola de puntos críticos
de la forma ¡ 2¢ con ∈ R.
Al aplicar la condición suficiente a estos puntos, teniendo en cuenta que de
= −4 +12 2
= 2
= −4,
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Matemáticas I. Prof. Ignacio López Torres