ejercicios de cálculo diferencial en funciones de varias variables

son continuas en todos los puntos, excluido
(0 0). En efecto, aproximaciones al origen por rectas del tipo =
y probar que ambas funciones
y
muestran que los límites lim ( ) y lim ( ) dependen de la di-
→0 →0
rección, por lo que los límites dobles lim
()→(00) ( ) y lim
()→(00) ( ) no
existen.
Veamos que, para esta función , no se cumple la igualdad de las derivadas
parciales cruzadas de segundo orden en el origen. En efecto, dado que
(0) − (0 0)
(0 0) = lim
=lim
→0
→0
( 0) − (0 0)
(0 0) = lim
= lim
→0
→0
− (3 sen )
4
( 3 sen )
4
− 0
− 0
sen
= − lim = −1
→0
sen
= lim
→0 =1,
resulta que (0 0) = −1 6= 1=(0 0).
El resultado obtenido no contradice el teorema de Clairaut, debido a que no
se cumplen las condiciones para aplicar este teorema. En efecto, hemos visto
que y no son continuas en (0 0).
Obviamente, en cualquier punto ( ) ∈ R 2 distinto del punto (0 0), se
cumplen las condiciones para aplicar dicho teorema, por lo que
Ejercicio 6.
( ) =( ) ∀ ( ) ∈ R 2 \ (0 0) .
Determina el mínimo valor de ∈ N para que la función : R 2 → R, definida
mediante ½ sen − sen
2 + 2
para ( ) 6= (00) 0 para ( ) =(00) admita plano tangente en el punto (0 0). Para el valor de obtenido, determina
las ecuaciones del plano tangente y de la recta normal a la superficie = ( )
en el punto (0 0).
Una solución.
En el apartado 6.2. de la parte teórica, vimos que si es diferenciable en
(0 0), entonces admite plano tangente en (0 0), y la ecuación de dicho plano
tangente es
= (0 0) + (0 0)( − 0) + (0 0)( − 0).
Por tanto, se trata de determinar el mínimo valor de ∈ N para que la
función sea diferenciable en el punto (0 0). Dado que la continuidad de en
(0 0) es condición necesaria para la diferenciabilidad de en (0 0), comenzamos
observando que el mínimo valor de ∈ N para que la función sea continua
en (0 0) es =2. En efecto, para este valor =2, fácilmente se comprueba,
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Matemáticas I. Prof. Ignacio López Torres