ejercicios de cálculo diferencial en funciones de varias variables

En definitiva, esta función admite derivada direccional en el punto (0 0)
según cualquier vector, pero no es diferenciable en dicho punto (0 0).
La figura 3 bosqueja la gráfica de esta función en una bola del origen.
Ejercicio 5.
Figura 3
Se considera la función : R2 → R, definida mediante
(
(+)sen(−)
2 +2 para ( ) 6= (00) 0 para ( ) =(00) Calcula (0 0) y (0 0). ¿Contradice el resultado obtenido el teorema de
Clairaut, de igualdad de las derivadas parciales cruzadas?¿Verifica dicho teorema
para cualquier ( ) ∈ R 2 \(0 0)?
Una solución.
Es fácil probar que la función es continua en todos los puntos, incluido
el origen de coordenadas (0 0). Asimismo es sencillo obtener las funciones
derivadas parciales de primer orden de , queson
( ) =
( ) =
(
− [sen(−)(2 −2 2 − 3 )−cos(−)( 4 + 2 2 + 3 + 3 )]
( 2 + 2 ) 2
.
para ( ) 6= (00) 0 para ( ) =(00) ( 3 2 2 3 3 2 2 4
[sen(−)( − +2 )−cos(−)( + + + )]
(2 +2 ) 2
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Matemáticas I. Prof. Ignacio López Torres
para ( ) 6= (00) 0 para ( ) =(00) ,