ejercicios de cálculo diferencial en funciones de varias variables

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¡ 2 se sigue que ¢ =82 ¡ 2 , ¢ ¡ 2 =2, ¢ = −4, observamos queseverifica en dichos puntos que ¡ 2 ¢ =4 2 ≥ 0, ¯ ¡ ¯ 2 ¢¯ ¡ ¯ 2 = ¢ ¡ 2 ¢ − ¡ ¡ 2 ¢¢ 2 =0, por lo que nada se puede afirmar, aplicando esta condición suficiente, respecto al caracter de los puntos ¡ 2¢ . Aplicando la definición de extremo local, analicemos el signo de la expresión ( ) =( ) − ¡ 2¢ = ¡ − 2¢ 2 para puntos ( ) pertenecientes a una bola de centro ¡ 2¢ .Dadoque ( ) =( ) − ¡ 2¢ = ¡ − 2¢ 2 ≥ 0, resulta que ( ) es no negativa en una bola de centro ¡ 2¢ , por lo que cada punto ¡ 2¢ es un mínimo local de la función . g) Al ser un polinomio, se verifica que ∈ ∞ (R 2 ), por lo que se pueden aplicar las condiciones introducidas en la parte de teoría. Al aplicar la condición necesaria de extremo, se llega al sistema = −4 ¡ − 2¢ − 6 3 =0 = 2 ¡ − 2¢ =0, y la única solución de este sistema conduce al punto crítico (0 0). Al aplicar la condición suficiente a este punto, teniendo en cuenta que de = −4 − 6 2 = 2 = −4, se sigue que (0 0) = 0, (0 0) = 2, (0 0) = 0, observamos que se verifica en dicho punto que (0 0) = 0, | (0 0)| = (0 0) (0 0) − ( (0 0)) 2 =0, por lo que nada se puede afirmar, aplicando esta condición suficiente, respecto al caracter del punto (0 0). Aplicando la definición de extremo local, analicemos el signo de la expresión ( ) = ( ) − (0 0) = ¡ − 2¢ 2 − 6 = = ¡ − 2 + 3¢¡ − 2 − 3¢ 33 Matemáticas I. Prof. Ignacio López Torres
para puntos ( ) pertenecientes a una bola de centro (0 0). LaFigura8muestra el signo de dicha expresión en las proximidades del origen. Dado que Figura 8 ( ) =( ) − (0 0) = ¡ − 2 + 3¢¡ − 2 − 3¢ , no mantiene signo constante en una bola de centro el origen, resulta que (0 0) es un punto de silla. Ejercicio 12. a) Se desea construir una balsa de riego de forma paralelepipédica, abierta por su parte superior, de volumen igual a m 3 . Sabiendo que el coste de la construcción del fondo es de 1 euros/m 2 , y el coste de la construcción de las paredes laterales es de 2 euros/m 2 , determina las dimensiones de la balsa para minimizar el coste de su construcción. b) Determina el punto que, estando situado en los planos +2 +3 =4y − +5 =1, se halla a distancia mínima del origen de coordenadas. c) Determina los extremos absolutos de la función ( ) = +5 sobre el conjunto d) Sea = {( ) ∈ R 2 : 2 9 + 2 4 ≤ 1 −1 ≤ ≤ 1}. = {(12 ) ∈ R : 0 para =1 2 }, y ∈ R, con0. Halla el valor máximo de la función : ⊂ R → R, definida mediante (12 ) = √ 12 34 Matemáticas I. Prof. Ignacio López Torres
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