ejercicios de cálculo diferencial en funciones de varias variables

Una solución.
a) Por la propiedades de las funciones diferenciables, se verifica que ∈
1 (R3 ),y∀( ) ∈ R3 se cumple que
¯
¯
¯ − sen sen cos cos sen cos ¯
|( )| = ¯ sen cos cos sen sen sen ¯
¯ 0 − sen cos ¯ = −2 sen .
Por tanto, designando por = {( ) ∈ R 3 : = 0 o = ± para
=0 1 2 }, severifica que ∀ ( ) ∈ R 3 \, es|( )| 6= 0.
Observamos que no admite función inversa global (ya que, al ser ( ) =
( ± 2 ± 2 ), para =0 1 2 , no es inyectiva). Sin embargo,
dado que cumple las condiciones del Teorema de la función inversa en todo
punto ( ) ∈ R 3 \ ( ∈ 1 (R 3 ) y |( )| 6= 0 ∀ ( ) ∈ R 3 \),
es localmente invertible en cualquier punto ( ) ∈ R 3 \. Por tanto,
∀ ( ) ∈ R 3 \ existe un conjunto abierto conteniendo al punto ( )
en el cual : → = () es regular. Más aun, en tales casos, el conjunto
= () es un conjunto abierto, y la función inversa local −1 : → verifica
que −1 ∈ 1 ( ), yque
−1 ( ) = (( )) −1 =
=
donde ( ) =( ).
¡
4
⎛
⎝
⎛ sen cos
− sen sen 0
⎝ cos cos sen cos
−
sen cos sen sen cos
− sen sen
sen cos
cos cos
cos sen
sen cos
sen sen
0
⎞
− sen cos
sen
En particular, si consideramos el punto ( ) = ¡
4
6 4¢ = ¡√ 2 √ 2 2 √ 3 ¢ ,yes
−1 ³√ √ √ ´
2 2 2 3
=
=
³
⎛
⎜
⎝
³
4
− √ 2
√4 6
√16 2
4
´´ −1
4 =
6
√
2
√4 6
√16 2
4
√16 2
4
√8 3
2
⎛
⎜
⎝
⎞
0
1 ⎟
− ⎠ .
√16 2
4
√8 3
2
⎠ .
6 4¢ ,severifica que
− √ 2 √ 6 √ 2
4
√ 2 √ 6 √ 2
4
0 −2 √ 3
2
Finalmente, la diferencial de −1 en el punto ¡√ 2 √ 2 2 √ 3 ¢ ,seexpresamediante
−1 ³√
⎛
√ √ ´ −
⎜
2 2 2 3 = ⎝
√ 2
√4 6
√
2
√4 6
0
1 −
⎞ ⎛
⎟
⎠ ⎝
⎞
⎠ .
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Matemáticas I. Prof. Ignacio López Torres
⎞
⎟
⎠
−1
=
⎞
⎠
−1
=