ejercicios de cálculo diferencial en funciones de varias variables

c) De las propiedades de las funciones continuas, se deduce que esta función
es continua en todos los puntos salvo, eventualmente, el origen de coordenadas
(0 0). Para estudiar la existencia del límite lim ( ) (observa que se
()→(00)
trata de una indeterminación del tipo 0
0 ), efectuamos en la función ( ) un
cambio a coordenadas polares, obteniendo
lim ( cos sen ) = lim
→0 →0 2 ¡ cos 4 +sen 4 ¢ =0,
cualquiera que sea ∈ (0 2]. Por tanto, dado que lim
→0 ( cos sen ) =0,
uniformemente en , se verifica que lim
()→(00)
( ) = 0, y resulta que la
función también es continua en (0 0) (al ser (0 0) = lim
()→(00)
( )).
d) Observa que dom = R2 . De las propiedades de las funciones continuas,
se deduce que esta función es continua en todos los puntos de su dominio salvo,
eventualmente, el origen de coordenadas (0 0). Para estudiar la existencia del
límite lim ( ) (observa que se trata de una indeterminación del tipo
0
0
()→(00)
), veamos que sucede al aproximarnos según rectas (pasando por el punto
(0 0)) deltipo = . Haciendo = en la expresión del límite según
dichas rectas, se llega a
lim
→0
√ 2 + 2 2 =
√ 1+ 2 ,
de donde se sigue, aplicando la propiedad 5.1.2.1. de la parte teórica, que no
existe lim ( ), por lo que la función no es continua en dicho punto
()→(00)
(0 0).
Ejercicio 2.
Estudia la existencia de derivadas parciales primeras, y construye las funciones
derivadas parciales de primer orden, de las siguientes funciones:
(
2
a) ( ) = 6 +2 para ( ) 6= (00) 0 para ( ) =(00) .
b) ( ) =
( (1−)+sen( 3 )
2 + 2
para ( ) 6= (00) 0 para ( ) =(00) .
( 2 2
( + ) sen(−)
2 +2 c) ( ) =
0
para ( ) 6= (00) para ( ) =(00) .
½ ¡
2 2 2 2 log +
d) ( ) =
¢ 0
para ( ) 6= (00) para ( ) =(00) .
Matemáticas I. Prof. Ignacio López Torres
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