ejercicios de cálculo diferencial en funciones de varias variables

e) ( ) =| − |.
Una solución.
a) Observa que dom = R 2 . Veamos que la función admite derivadas
parciales en todos los puntos de su dominio. En efecto, aplicando las propiedades
de las funciones derivables, las reglas de derivación vistas para funciones de una
variable, y simplificando, se llega fácilmente a que ∀( ) ∈ R 2 \{(0 0)} es
( ) = −2 ¡ 26 − 2¢ (6 + 2 ) 2
( ) = 2 ¡ 6 − 2¢ (6 + 2 )
En cuanto al origen, aplicando la definición de derivada parcial, se obtiene
2 .
(0 0)
=
( 0) − (0 0) 0
lim
=lim
→0
→0 =0
(0 0)
=
(0) − (0 0) 0
lim
=lim
→0
→0 =0,
por lo que también existen derivadas parciales en dicho punto, y son ambas
nulas.
Por tanto, las funciones derivadas parciales de primer orden de quedan
definidas del modo siguiente
( ) =
( ) =
(
− 2(26 − 2 )
( 6 + 2 ) 2
( 2 ( 6 − 2 )
( 6 + 2 ) 2
para ( ) 6= (00) 0 para ( ) =(00) para ( ) 6= (00) 0 para ( ) =(00) Este ejemplo prueba (una vez más) que la existencia de derivadas parciales
de primer orden en un punto, no implica la continuidad en dicho punto. En
efecto, fácilmente se prueba (p.e. procediendo de modo similar al ejemplo 1.b))
que esta función no es continua en (0 0).
b) Observa que dom = R 2 . Veamos que la función admite derivadas
parciales en todos los puntos de su dominio. En efecto, aplicando las propiedades
de las funciones derivables, las reglas de derivación vistas para funciones de una
variable, y simplificando, se llega fácilmente a que ∀( ) ∈ R 2 \{(0 0)} es
( ) = −2 + 3 + 22 − 4 +34cos 3 +322 cos 3 − 2 sen 3 (2 + 2 ) 2
( ) = −−3 + 2 +23 +2sen 3 (2 + 2 ) 2 .
Matemáticas I. Prof. Ignacio López Torres
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