ejercicios de cálculo diferencial en funciones de varias variables

c) Elvolumendeesteconoes
= 1
3 2 = 1
3 · 142 · 21 = 1372 ≈ 4310262 cm 3 .
Diferenciando en esta expresión, se llega a
=
+
2 1
= +
3 3 2. Por tanto, el error (absoluto) máximo en que se puede incurrir al calcular el
volumen del cono utilizando dichas medidas es del orden de
= 2
· 14 · 21 · 01+1
3 3 · 142 · 015 = 294 ≈ 92363 cm 3 ,
que, en relación al volumen calculado, supone un error relativo de
Ejercicio 8.
92363
≈ ≈ 2143%.
4310262
Para las siguientes funciones y , estudiar la diferenciabilidad de las composiciones
= ◦ en los puntos especificados. En caso de diferenciables,
obtener su diferencial:
a) : R 3 → R 2 definida mediante ( ) = ¡ 2 +2 2 +3 2 4 2 − 2¢
: ⊂ R 2 → R 3 ,con = {( ) ∈ R 2 : 3 y ( ) 6= (0 0)}, definida
mediante ( ) = ¡√ − 3 √ 2 + 2 3 − 4 ¢ , en el punto (4 3).
b) : ⊂ R3 → R2 ,con = {( ) ∈ R3 ³
:( ) 6= (00)}, definida
mediante ( ) = 2 + 2 2 +2 ´
: R3 → R3 definida mediante ( ) =(sen cos sen sen cos ),
en el punto ¡
4 6 4¢ .
Una solución.
a) Aplicando el resultado visto en la parte de teoría, concerniente a la regla
de la cadena, dado que es diferenciable en (4 3), por ser sus tres componentes
diferenciables en dicho punto, y es diferenciable en (4 3) = (1 5 0), porser
sus dos componentes diferenciables en (1 5 0), resultaque ◦ es diferenciable
en (4 3), yseverifica que
( ◦ )(43) = ((4 3)) · (4 3) =
= (1 5 0) · (4 3).
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Matemáticas I. Prof. Ignacio López Torres