ejercicios de cálculo diferencial en funciones de varias variables

c) Al ser un polinomio, se verifica que ∈ ∞ (R 2 ), por lo que se pueden
aplicar las condiciones introducidas en la parte de teoría. Al aplicar la condición
necesaria de extremo, se llega al sistema
= 4 3 − 6 2 +12 +14−6 − 6=0
= 6 2 − 6 +2 +2=0.
Despejando en la segunda ecuación y sustituyendo en la primera, se llega a la
ecuación
−16 ¡ 2 2 − 3 +1 ¢ =0
cuyas soluciones conducen a los puntos críticos (0 −1), ¡ ¢
1 1
2 − 4 y (1 −1).
Al aplicar la condición suficiente a estos puntos, teniendo en cuenta que
resulta que:
= 12 2 − 12 +12 +14
= 2
= 12−6, • En el punto (0 −1): Dadoque(0 −1) = 2, (0 −1) = 2, (0 −1) =
−6, observamos que se verifica en dicho punto que
(0 −1) = 2 0, |(0 −1)| = (0 −1)(0 −1)−((0 −1)) 2 = −32 0,
por lo que el punto (0 −1) es un punto de silla.
• En el punto ¡ ¢ ¡ ¢ ¡
1 1
1 1
1
2 − 4 :Dadoque 2 − 4 =8, 2
0, observamos que se verifica en dicho punto que
µ
1
−1
2 4
¯
= 8 0
µ ¯
1 ¯¯¯
−1
2 4
=
µ
1
−1
2 4
¢
es un mínimo relativo de .
por lo que el punto ¡ 1 1
2 − 4
¢
1 − 4 =2,
¡ 1
2
¢
1 − 4 =
µ µ µ 2
1
1
−1 − −1 =160, 2 4
2 4
• En el punto (1 −1): Dadoque(1 −1) = 2, (1 −1) = 2, (1 −1) =
6, observamos que se verifica en dicho punto que
(1 −1) = 2 0, |(1 −1)| = (1 −1)(1 −1)−((1 −1)) 2 = −20 0,
por lo que el punto (1 −1) es un punto de silla.
d) Al ser un polinomio, se verifica que ∈ ∞ (R 2 ), por lo que se pueden
aplicar las condiciones introducidas en la parte de teoría. Al aplicar la condición
necesaria de extremo, se llega al sistema
= ¡ 3 2 − 2¢ =0
= ¡ 2 − 3 2¢ =0,
30
Matemáticas I. Prof. Ignacio López Torres