ejercicios de cálculo diferencial en funciones de varias variables

la tercera, y despejando e igualando las expresiones en , se llega fácilmente
a las dos ecuaciones siguientes:
=
1 = 22.
³ q
Entrando
q
con estas ecuaciones en la restricción, se obtiene el punto crítico
3 22 3 22
1 1
3
q
2 1 42 ´
, por lo que las dimensiones óptimas de la balsa para
2
minimizar
q
el coste q de construcción son las siguientes: base cuadrada de lado
3 22
3 2 1 ;altura .
1
4 2 2
b) Se trata de encontrar el mínimo de la función
sujeta a las restricciones
( ) = p 2 + 2 + 2
+2 +3 = 4
− +5 = 1.
De modo equivalente, se trata de encontrar el mínimo de la función
( ) = 2 + 2 + 2 ,
sujeta a dichas restricciones. Aplicando el método de los multiplicadores de
Lagrange, el Lagrangiano del problema es
( ) = 2 + 2 + 2 − ( +2 +3 − 4) − (− +5 − 1),
y la condición necesaria de extremo introducida en la parte de teoría, conduce
al sistema
= 2− + =0
= 2−2 =0
= 2−3−5 =0
= − ( +2 +3 − 4) = 0
= −(− +5 − 1) = 0.
Resolviendo este sistema lineal en y , se obtiene el punto situado
a mínima distancia del origen, resultando ¡ ¢
11 15 5
14 14 , 14 , y los multiplicadores de
Lagrange = 15
1
14 y = − 2 . La mínima distancia resulta ser √ 371
14 .
Este problema también se puede resolver parametrizando la recta intersección
de los dos planos, y minimizando la distancia al origen de un punto genérico
de dicha recta.
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Matemáticas I. Prof. Ignacio López Torres