ejercicios de cálculo diferencial en funciones de varias variables

Pasando a coordenadas polares para calcular este último límite, se llega a
lim
→0 (cos +sen)2 1
sen
(cos +sen) =0,
cualquiera que sea ∈ (0 2]. Por tanto, dado que
( ) − (0 0) − (0 0)( − 0) − (0 0)( − 0)
lim
q
()→(00)
( − 0) 2 +( − 0) 2
=0,
resulta que es diferenciable en el punto (0 0).
Este ejemplo no contradice la propiedad 6.3.3.5. vista en la parte teórica,
dado que la condición de que existan las derivadas parciales
y en una
bola de centro (0 0), y sean ambas continuas en el punto (0 0), es tan solo una
condición suficiente, no siendo necesaria para garantizar la diferenciabilidad de
la función en dicho punto (0 0).
c) Veamos que, para esta función , existen derivadas parciales de primer
orden en todos los puntos, en particular en el origen. En efecto, aplicando
las propiedades de las funciones derivables, las reglas de derivación vistas para
funciones de una variable, y simplificando, se llega fácilmente a que ∀( ) ∈
R 2 \{(0 0)} es
( ) = ¡ 2 +22¢ (2 + 2 ) 3
2
( )
=
4 .
( 2 + 2 ) 3
2
En cuanto al origen, aplicando la definición de derivada parcial, se obtiene
(0 0)
=
( 0) − (0 0) 0 − 0
lim
= lim
→0
→0 =0
(0 0)
=
(0) − (0 0) 0 − 0
lim
= lim
→0
→0 =0,
por lo que también existen derivadas parciales en dicho punto, y son (0 0) = 0
y (0 0) = 0.
Veamos que estas derivadas parciales son continuas en (0 0). Enestepunto,
pasando a coordenadas polares, por ejemplo en la expresión de ( ), se llega
aque
lim
→0 ( cos sen ) = lim cos sen
→0 ¡ cos 2 +2sen 2 ¢ =0
para cualquiera que sea ∈ (0 2]. Por tanto, dado que lim ( cos sen ) =
→0
0, uniformemente en , severifica que lim
()→(00) ( ) =0=(0 0), resultando
que es continua en el punto (0 0) (similarmente para ). Como
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Matemáticas I. Prof. Ignacio López Torres