ejercicios de cálculo diferencial en funciones de varias variables

no es diferenciable en el punto (0 0), demostrando que no es continua en
(0 0).
b) Prueba que la función : R 2 → R definida mediante
½ ( + ) 2 sen 1
+
para + 6= 0
0 para + =0 ,
es diferenciable en el punto (0 0), aplicando la definición de diferenciabilidad.
Prueba que admite derivadas parciales de primer orden en (0 0), yque
dichas derivadas parciales no son continuas en (0 0). ¿Contradice este ejemplo
la propiedad 6.3.3.5. vista en la parte teórica?
c) Prueba que la función : R2 → R definida mediante
( 2
√
2 +2 0
para ( ) 6= (00) para ( ) =(00) ,
es diferenciable en el punto (0 0), demostrando que admite derivadas
parciales de primer orden en una bola de centro el punto (0 0), yquedichas
derivadas parciales son continuas en (0 0).
d) Prueba que la función : R 2 → R definida mediante
½ sen 1
2 + 2
para ( ) 6= (00) 0 para ( ) =(00) no es diferenciable en el punto (0 0), demostrando que no admite alguna
derivada parcial de primer orden en (0 0).
e) Prueba que la función : R2 → R definida mediante
(
2
4 +2 0
para ( ) 6= (00) para ( ) =(00) ,
admite derivadas direccionales en el punto (0 0) según cualquier vector (unitario)
=(12), pero no es diferenciable en (0 0).
Una solución.
a) Para esta función se probó en el ejercicio 3.c) que admite derivada direccional
en el punto (0 0) según cualquier vector (unitario) , y que dicha derivada
direccional es siempre nula (en particular, admite derivadas parciales de primer
orden en dicho punto, y son ambas nulas). Sin embargo, veamos que esta función
no es continua en (0 0), debidoaque lim ( ) no existe. En efecto,
()→(00)
utilizando aproximaciones al origen según parábolas del tipo 2 = , se llega
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Matemáticas I. Prof. Ignacio López Torres
,