ejercicios de cálculo diferencial en funciones de varias variables

por ejemplo pasando a coordenadas polares, que lim ( ) =0,veri-
()→(00)
ficándose que (0 0) = lim
()→(00)
lim
()→(00)
( ) no existe.
( ) =0, mientras que para =1el límite
Supongamos, por tanto, que ≥ 2. Dado que la existencia de derivadas
parciales de primer orden de en (0 0) es condición necesaria para la diferenciabilidad
de en (0 0), comenzamos onteniendo el mínimo valor de ∈ N para
que la función admita derivadas parciales de primer orden en (0 0).
Aplicando la definición de derivada parcial en el punto (0 0), se obtiene
( 0) − (0 0)
(0 0) = lim
= lim
→0
→0
(0) − (0 0)
(0 0) = lim
= lim
→0
→0
sen
2
− sen
2
− 0
− 0
=lim
→0 −3 sen
= − lim
→0 −3 sen ,
y dichos límites existen siempre que sea ≥ 2. Para =2, dichos límites valen
1 y −1 respectivamente, y para ≥ 3, dichos límites valen 0.
Supongamos inicialmente que ≥ 3. Entalcaso,
(0 0) = (0 0) = 0, y
aplicando la definición de diferenciabilidad en (0 0) se verifica que
( ) − (0 0) − (0 0)( − 0) − (0 0)( − 0)
lim
q
()→(00)
( − 0) 2 +( − 0) 2
=
= lim
()→(00)
sen − sen
2 + 2
p 2 + 2
= lim
()→(00)
sen − sen
,
( 2 + 2 ) 3
2
yestelímiteexisteyvale0 (siempre que sea ≥ 3).
Veamos que para =2la función no es diferenciable en (0 0). En efecto,
para =2es
(0 0) = 1, (0 0) = −1, por lo que aplicando la definición de
diferenciabilidad en (0 0)
( ) − (0 0) − (0 0)( − 0) − (0 0)( − 0)
lim
q
()→(00)
( − 0) 2 +( − 0) 2
=
= lim
()→(00)
= lim
()→(00)
2 sen − 2 sen
2 +2 p
2 + 2 − +
=
2 sen − 2 sen − 3 − 2 + 2 + 3
( 2 + 2 ) 3 2
y este límite no existe como probaremos utilizando una aproximación al origen
por rectas del tipo = . En efecto, esta aproximación conduce al límite
lim
→0
= lim
→0
2 sen − 2 2 sen − 3 − 2 3 + 3 + 3 3
( 2 + 2 2 ) 3
2
2 sen − 2 2 sen − 3 − 2 3 + 3 + 3 3
( 2 + 2 2 ) 3 2
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Matemáticas I. Prof. Ignacio López Torres
,
=
,