ejercicios de cálculo diferencial en funciones de varias variables

Ejercicios de cálculo diferencial en funciones de varias variables.
Ejercicio 1.
Estudia la continuidad de las siguientes funciones:
a) ( ) =
b) ( ) =
( 2
√ para ( ) 6= (00) 2 +2 0 para ( ) =(00) .
(
3
6 +2 0
para ( ) 6= (00) para ( ) =(00) .
(
4 4
+
c) ( ) = 2 +2 para ( ) 6= (00) 0 para ( ) =(00) .
d) ( ) =
(
Una solución.
√
2 +2 para ( ) 6= (0 0)
0 para ( ) =(0 0) .
a) Observa que dom = R3 . De las propiedades de las funciones continuas,
se deduce que esta función es continua en todos los puntos de su dominio salvo,
eventualmente, en los puntos de la forma (0 0), con∈R. En estos puntos,
para estudiar la existencia del límite lim ( ) (observaquesetrata
()→(00)
de una indeterminación del tipo 0
0 ), procedemos de modo similar al resultado
visto en el ejemplo 5.3.4.2. de la parte de teoría (correspondiente a un cambio
a esféricas), pero efectuando ahora en la función ( ) uncambioacoordenadas
cilíndricas. En este sistema de coordenadas, un punto ( ) del
espacio se expresa mediante tres coordenadas, ( ), donde el significado de
, que es la distancia del punto al eje , del ángulo , y de la coordenada
, se muestra en la Figura 1.
Figura 1
Matemáticas I. Prof. Ignacio López Torres
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