ejercicios de cálculo diferencial en funciones de varias variables

9 se han representado en color negro las dos líneas de nivel de que pasan por
losextremosabsolutos. ³ Dedichafigura se deduce que el máximo absoluto se
√ ´
3 3
obtiene en el punto 2 1 y que el mínimo absoluto se obtiene en el punto
³
− 3√ ´
3
2 −1 .
A este resultado también se puede llegar utilizando el procedimiento descrito
en el apartado 9.6. de la parte teórica.
Por otra parte, observa que el hecho de que se alcancen los extremos sobre
las rectas = ±1 (como en este caso), o sobre los tramos de elipse situados en
las regiones 3√3 2 o − 3√3 2 , depende de la pendiente de la línea de
´
nivel
0 en relación a la pendiente de la tangente a la elipse en el punto .
³ √
3 3
2 1
d) Aplicando el método de los multiplicadores de Lagrange, el Lagrangiano
del problema es
(12 )= √ 12 − (1 + 2 + + − ) .
Aplicando la condición necesaria de extremo condicionado, se obtiene el sistema
1 =
2 =
=
2
(12) −1
13
(12) −1
12−1
(12) −1
− =
− =0
1
− =
− =0
2
− =
− =0
= − (1 + 2 + + − ) =0.
De las primeras ecuaciones, se sigue que
1 = 2 = = ,
por lo que, sustituyendo en la restricción, se obtienen los valores de las variables
correspondientes al máximo de , resultando
1 = 2 = = =
.
Sustituyendo en la expresión de , se obtiene su valor máximo, resultando
max =
.
Como consecuencia de esta propiedad, y siempre que sea 0 para =1,
2,, , severifica que
√
12 ≤
,
es decir,
√
12 ≤ 1 + 2 + +
.
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Matemáticas I. Prof. Ignacio López Torres