Refraccion negativa en metamateriales anisotropicos - UNAM

10 El ujo de energía en un material anisotrópico uniaxial
Faraday,
⃗H = ↔ µ −1 · ⃗k
ω × ⃗E
= ⃗ k × ⃗E + (a m − 1)ê z (⃗k × ⃗E) · ê z
µ ‖ ω
.
(2.27)
Ya que ⃗k m · ⃗E m = 0 y dadas la expresión (2.27) y la igualdad
tenemos que
(⃗k m × ⃗E m ) · ê z = ⃗E m · (ê z × ⃗k m ) = E m k m sen(Θ m ) , (2.28)
⃗k m · ⃗H m = a m − 1
µ ‖ ω E mk m k mz sen(Θ m ) (2.29)
(siendo Θ m el ángulo que forma ⃗k m con el eje óptico) y
⃗H m · ⃗H m = ‖ ⃗k m × ⃗E m ‖ 2 + 2(a m − 1)[(⃗k m × ⃗E m ) · ê z ] 2 + (a m − 1) 2 [(⃗k m × ⃗E m ) · ê z ] 2
µ 2 ‖ ω2
= kmE 2 m
2 1 + (am 2 − 1) sen 2 (Θ)
,
µ 2 ‖ ω2
(2.30)
así que, deniendo β m (Θ) := √ 1 + (a 2 m − 1) sen 2 (Θ), la relación entre H m y E m
se expresa así:
H m = k mE
∣ m
∣ µ‖ β m (Θ m ) (2.31)
ω
En el caso isotrópico β m (Θ) = 1, y la relación entre las amplitudes de ⃗H y ⃗E se
reduce a la forma usual.
Con estos resultados, calculamos el coseno del ángulo entre ⃗k m y ⃗H m :
cos(φ m ) = ⃗ k m · ⃗H m
= sgn(µ
k m H ‖ )(a m − 1) sen(2Θ m)
m 2β m (Θ m )
. (2.32)
Como se puede notar, este ángulo no varía con el valor de n ‖ . Apropiadamente, si
no hay anisotropía magnética, φ = π/2.
Análogamente, de la ley de Ampère-Maxwell tenemos que
⃗E = − ↔ ε −1 · ⃗k
ω × ⃗H
= − ⃗ k × ⃗H + (a e − 1)ê z ( ⃗H × ê z ) · ⃗k
ε ‖ ω
,
(2.33)