Refraccion negativa en metamateriales anisotropicos - UNAM

44 Refracción negativa en un metamaterial laminado
3.9. Modelo de Drude
El modelo de Drude es una aproximación clásica a la respuesta electrónica de
un material. Supone que éste está formado por una colección de cargas idénticas
q, distribuidas uniformemente en el material, con una densidad n, sujetas a una
fuerza que los mantiene en él, alrededor de una posición de equilibrio (ubicada en ⃗0
para cada carga, y con un coeciente de restitución k) y a un campo eléctrico poco
intenso. Supone además que el material ejerce una resistencia de tipo viscosa a su
movimiento, con coeciente b. Bajo tales hipótesis, la ecuación de movimiento de
una de estas cargas es
La transformada de Fourier de esta ecuación es
que se puede escribir también como
m¨⃗r = −k⃗r − b ˙⃗r + q ⃗E . (3.122)
− mω 2̂r = −k̂r + iωb̂r + qÊ (3.123)
q̂r =
q 2
m
k
m − iω b m
− ω2
Ê . (3.124)
El lado izquierdo es la transformada de Fourier del momento dipolar de esa carga
con respecto a su posición de equilibrio. El momento dipolar total en un volumen
V de este material será el número de cargas N en tal volumen multiplicado
por el momento individual, y la densidad de momento dipolar será a su vez esta
cantidad dividida entre dicho volumen. En promedio, tendremos entonces que la
transformada de la densidad de momento dipolar será
̂P = nq̂r =
nq 2
m
k
m − iω b m
− ω2
Ê . (3.125)
Esta es una relación lineal entre las transformadas de ⃗P y ⃗E, por lo que el coeciente
de proporcionalidad dividido entre ε 0 es la transformada de la susceptibilidad
eléctrica:
̂χ e (ω) =
nq 2
mε 0
k
m − iω b m − , (3.126)
ω2
por lo cual la función dieléctrica de un material de Drude está dada por
ε
ε 0
(ω) = 1 +
nq 2
mε 0
k
m − iω b m − . (3.127)
ω2