CLASE SEMANA 09

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RAÍCES DE UN POLINOMIO A > 0 i < 0 2. Teorema de Cardano – Viette x 1 x 2 Teorema de paridad raíces: x 1 = x Teorema 1 2 En el polinomio. P(x) = ax 2 + bx + c; a ≠ 0 de raíces. x 1 = x 2 x 1 = x 2 x 1 ; x 2 . • Suma de raíces: x 1 + x 2 = – b a y y • Producto de raíces: x 1 . x 2 = c a A < 0 i < 0 • De la identidad de Legendre se tiene: (x 1 + x 2 ) 2 – (x 1 – x 2 ) 2 = 4x 1 x 2 IV. polInomIo de teRceR gRado 3. Teorema (Análisis de las raíces) Del polinomio P(x) = ax 2 + bx + c; a ≠ 0 de coeficientes reales, raíces x 1 y x 2 y discriminante i = b 2 – 4ac se cumple: Mediante el teorema fundamental del álgebra y su colorario, el polinomio tiene 3 raíces, denotaremos por x 1 ; x 2 , x 3 . En tal caso el polinomio factorizado será: P(x) = A(x – x 1 )(x – x 2 )(x – x 3 ); A ≠ 0 • Si: i > 0 ⇔ x 1 ; x 2 ∈ x 1 ≠ x 2 Equivalente a: • Si: i = 0 ⇔ x 1 ; x 2 ∈ x 1 = x 2 P(x) = x 3 – (x 1 + x 2 + x 3 )x 2 + (x 1 x 2 + x 1 x 3 +x 2 x 3 )x – • Si: i < 0 ⇔ x 1 ; x 2 ∉ x 1 = x 2 x 1 x 2 x 3 de donde se observa: 4. Integración geométrica de y = Ax 2 + Bx + C Teorema de Cardano - Viette Sea y = Ax 2 + Bx + C; A ≠ 0 y coeficientes reales. En toda polinomio Ax 3 + Bx 2 + Cx + D = 0, de raíces El comportamiento geométrico de y depende de su x 1 , x 2 , x 3 se cumple: discriminante (i), así: I. Suma de raíces. x 1 + x 2 + x 3 = – B A A > 0 II. Suma de productos binarios de las raíces: x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = C A > 0 A III. Producto de las raíces: x 1 = x Si la ecuación admite como raíz: a + b ( b∈) entonces 2 A < 0 la otra raíz es: a – b y x 1 x 2 x 3 = – D A Sea el polinomio: P(x) = anx n + a i > 0 n–1 x n–1 + a n–2 x n–2 + ...+ a 0 = 0 a A > 0 y n ≠ 0, si a n , 3 n–1 , a n–2 , ... a 0 ∈ se cumple que la ecuación admite como raíz a a Z = a + b i , (B ≠ 0), y x 1 x 2 entonces tambien admite como raíz al número Z = a – b i , llamado el conjugado de Z. pRoBlemas Resueltos Problema 1 Sea el polinomio: P(x) = 8x 3 + ax 2 + bx + c Que tiene como raíces a: –3; –1/4; 1/2 Entonces P(x + 1) es: A) 8x 3 + 41x 2 – 3x – 3 B) 8x 3 + 22x 2 – 17x – 3 C) 8x 3 + 46x 2 – 61x + 20 D) 8x 3 + 37x 2 – 6x – 12 E) 8x 3 + 35x 2 – 7x – 3 UNMSM 2005- II Nivel Intermedio Resolución: Aplicando el teorema de Cardano: a 1 1 – =– 3 – + ⇒ a = 22 8 4 2 b ⎛ 1⎞ ⎛1⎞ ⎛1⎞⎛ 1⎞ = (– 3) ⎜ – ⎟ + (– 3) ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟⎜ – ⎟ ⇒ b =– 7 8 ⎝ 4⎠ ⎝2⎠ ⎝2⎠⎝ 4⎠ C ⎛ 1⎞⎛1⎞ – = (– 3) ⎜ – ⎟⎜ ⎟⇒ C =– 3 8 ⎝ 4⎠⎝2⎠ Entonces: P(x) = 8x 3 + 22x 2 – 7x – 3 x = x + 1 ⇒ (P(x + 1) = 8(x + 1) 3 + 22(x + 1) 2 – 7(x + 1) – 3 P(x + 1) = 8x 3 + 46x 2 + 61x + 20 Respuesta: C) 8x 3 + 46x 2 + 61x + 20 Problema 2 Halla la suma de los cuadrados de las raíces de la ecuación. 4x 4 – 17x 2 + 4 = 0 A) –1/2 B) 0 C) 17/2 D) –9 E) 8 UNMSM 2004-I Nivel Fácil TEma 9 áLGEbra 2 2 san marcos rEGULar 2014 – II
RAÍCES DE UN POLINOMIO Resolución: Factorizando: 4x 4 – 17x 2 + 4 = 0 (4x 2 – 1)(x 2 – 4) = 0 4x 2 – 1 = 0, x 2 – 4 = 0 x = ± 1 2 ; x = ± 2 Entonces: 2 2 ⎛1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 2 2 17 ⎜ ⎟ + ⎜– ⎟ + (–2) + (2) = ⎝2⎠ ⎝ 2⎠ 2 Respuesta: C) 17/2 Problema 3 Se sabe que las raíces de la ecuació: x 3 – 12x 2 + rx – 28 = 0 Están en progresión aritmética. Halla el valor de "r". A) 20 B) 24 C) 39 D) 16 E) –20 UNMSM 2006-I Nivel Intermedio Resolución: Sabemos que las raíces son: a – n, a, a + n Aplicando el terome de Cardano a – n + a + a + n = 12/1 ⇒ a = 4 (4 – n)(4)(4 + n) = 28/1 ⇒ b = 3 Entonces las raíces son: a; 4, 7 Luego: 134 + 1,7 + 4.7 = r/1 ⇒ r = 39 Respuesta: C) 39 pRoBlemas de clase ejeRcItacIón 1. Halle el valor de "a" si una raíz de: P(x) = x 2 – ax + 5, es igual a 1 A) 7 B) –6 C) 6 D) 1 E) –1 2. Halle las raíces de: M(x) = x 2 + 16x + 17 e indique el producto de ellas. A) –16 B) –17 C) 16 D) 17 E) –1 3. Si las raíces de: N(x) = 3x 2 + ax + 18, son x 1 y x 2 halle el valor de x 1 . A) 1 B) 2 C) 4 D) 18 E) 3 4. El polinomio: N(x) = x 3 – 7x + 17 de raíces a; b y c. Halle el valor de a + b + c. A) 7 B) –7 C) 17 D) 0 E) –17 5. Halle el valor de K para que el producto de las raíces del polinomio Q(x) = (k – 2)x 2 – 5x + 2k sea 6. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 pRofundIzacIón 6. Si a y b son las raíces del polinomio: P(x) = ax 2 + bx + c, halle el valor de: 2 2 a b N = + b a A) c(3ba – b 2 ) B) a(3bc – c 2 ) C) ab 2 + bc D) b(3ac – b 2 ) E) a(abc – a 2 ) 7. Halle el valor de K en el polinomio: P(x) = x 3 + kx + 16, sabiendo que tiene dos raíces iguales. A) –12 B) –13 C) –14 D) –15 E) –16 8. Halle las raíces de: Q(x) = x 3 – 7x 2 + mx – 8, sabiendo que estan en progresión geométrica. Halle el valor de "m". A) 16 B) 17 C) 15 D) 14 E) 18 9. Uno de los polinomios: Q(x) = x 3 – 4x 2 + mx + n – 3 de coeficientes reales es 2 – 3i. Calcule m + n. A) 7 B) 2+ 3i C) 10 D) 9 E) 0 sIstematIzacIón 10. Si: x 1 , x 2 ; x 3 son las raíces de: Q(x) = x 3 – 7x + 6 calcule: 2 2 2 x1 + x2+ x3 3 3 3 x1 + x2+ x3 A) 7/9 B) 1/9 C) –7/9 D) –1/3 E) 1/3 11. En el polinomio: P(x) = 3x 3 + ax 2 + bx + 12/a; b∈ una de las raíces es 1 + 3 A) –12 B) –9 C) 6 D) 12 E) –18 12. Si: 3 + 2 2 es una raíz irracional de: P(x) = 2x 3 – x 2 – ax + b, a; b ∈ halle a b . A) 4 B) 8 C) 16 D) 9 E) 1 san marcos rEGULar 2014 – II 3 áLGEbra TEma 9 3
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