2. movimiento ondulatorio - Tecnun

2. Movimiento Ondulatorio
es la denominada frecuencia fundamental. De este modo las posibles frecuencias de
oscilación, llamadas armónicos, son todos los múltiplos de la fundamental. Podemos
decir que las frecuencias y las longitudes de onda están cuantizadas. La figura 2.15
indica la distribución de amplitud para los tres primeros modos de vibración. Los
puntos de máxima amplitud son los antinodos y la separación entre nodo y antinodo
es λ
4
.
Una característica importante de la ecuación de ondas estacionarias [2.41] es
que las variables x y t están separadas. Es decir, tenemos una amplitud de vibración
máxima variable a lo largo de la cuerda y fija para cada punto, propiedad fundamental
de las ondas estacionarias. Por tanto una formulación más general de una onda
armónica estacionaria vendría dada por la ecuación
ξ ( x,
t)
= f ( x)
senωt
[2.47]
donde f(x) es la amplitud de onda en un punto x. Pero dado que ξ(x,t) es una onda,
deberá cumplir la ecuación diferencial de ondas [2.9]. Introduciendo [2.47] en [2.9]
encontramos que f(x) debe cumplir la ecuación diferencial
2
d f
2
dx
2
+ k f
= 0
[2.48]
que tiene por solución general
f ( x)
= Asenkx + B cos kx
[2.49]
donde A y B son constantes arbitrarias. Por consiguiente la ecuación de ondas
general de una onda armónica estacionaria viene dada por la ecuación
ξ ( x , t)
= ( Asenkx + B cos kx)
senwt
[2.50]
Las constantes de la ecuación [2.50] se determinan por las condiciones de
contorno. Ilustremos esto con el caso de la cuerda con extremos fijo con condiciones
de contorno ξ(0)=ξ(L)=0
es decir
ξ ( 0, t)
= Bsenwt = 0
implica que B=0
ξ ( L,
t)
= AsenkLsenwt
= 0 implica que kL=nπ
λ = 2L n
donde n es un entero, de conformidad con [2.44].
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