2. movimiento ondulatorio - Tecnun

2. Movimiento Ondulatorio
2.11 Paquete de ondas
Un caso de notable interés es cuando el paquete de ondas está formado por la
superposición de un conjunto infinito de ondas planas de amplitud y frecuencia
variables que se propagan en la dirección X. Una de las componentes quedará
representada, usando notación exponencial, por la ecuación
ξ ( x,
t)
= A exp i(
ω t − kx)
[2.74]
k
k
y el paquete de ondas vendrá dado por
k
∞
∫
−∞
ξ ( x , t)
= A(
k)exp
i(
ω(
k)
t − kx)
dk
[2.75]
Centrémonos en un caso de interés práctico en el que k varía en torno a un
valor central k 0 en un intervalo ∆k pequeño donde A(k) tiene un máximo muy acusado
en k 0 y decáe rápidamente al alejarnos de k 0 . Tratemos de analizar como es la
resultante de esta superposición y con que velocidad se desplaza el conjunto.
En caso de un medio no dispersivo, velocidad de fase independiente de k, la
función ω(k) es muy sencilla, ω=v f k. Si el medio es dispersivo, la velocidad de fase
depende de k y la relación entre ω y k será más complicada. No obstante, por ser ∆k
muy pequeño podemos desarrollar la función ω(k) en serie de Taylor en torno a k 0 en
la forma
⎛ dω
⎞
ω ( k)
= ω(
k0
) + ⎜ ⎟ ( k − k0
) + .....
[2.76]
⎝ dk ⎠
k0
y haciendo ω(k 0 )=ω 0 nos queda
⎡⎛
dω
⎞ ⎤
ω t − kx = ω0t
− k0x
+ ( k − k0)
⎢⎜
⎟ t − x⎥
[2.77]
⎢⎣
⎝ dk ⎠k 0
⎥⎦
con lo que [2.75], tomando la integral en el intervalo k 0 ±∆k/2 que es donde tiene
existencia, se escribirá
k 0 +∆k
/ 2
⎡⎛
dω
⎞
∫
−∆
⎥ ⎥ ⎤
ξ ( x,
t)
= exp i(
ω0t
− k
0t)
A(
k)exp
i(
k − k0)
⎢⎜
⎟ t − x dk [2.78]
k / 2
⎢⎣
⎝ ⎠
0 k
dk k 0 ⎦
Para hacernos una idea del resultado es necesario conocer A(k) para resolver
la integral. Supongamos que A(k)= A 0 es constante, es decir, la amplitud de todas la
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