Codes sur des anneaux nis et r eseaux arithm ... - Alexis Bonnecaze

Introduction
En 1623, Francis Bacon constatait qu'un homme pouvait s'exprimer a distance au moyen
de signes binaires. Mais il fallut attendre 1948, et les publications de Claude Shannon,
pour que s'etablisse une theorie des communications numeriques rigoureuse. Cette
theorie, connue sous le nom de theorie de l'information, t dispara^tre les \bricolages
astucieux" aux idees quelquefois preconcues pour laisser place adevraiestechniques
scienti ques.
Un des problemes majeurs que Shannon (voir [Sha49]) etudia est la garantie d'une
communication able en presence de bruit. Ce probleme est intimement liea la notion
de codage. Cependant, la theorie se contente de predire l'existence de codes et ne donne
aucun moyen de les construire. Depuis les annees cinquante, des progres considerables
ont ete e ectues en matiere de conception de systemes de communications numeriques,
mais le probleme de la construction de \bons codes" reste toujours d'actualite.
La problematique du codage correcteur est simple: on desire proteger un message
contre les erreurs. Un message est compose d'une suite d'elements appartenant aunensemble
ni (ou alphabet) appeles symboles d'information. L'alphabet est le plus souvent
binaire. Lors de la transmission d'un message, il arrive occasionnellement que surviennent
des erreurs. Celles-ci peuvent ^etre la consequence de bruit sur le canal et peuvent
grandement a ecter la qualite de la transmission. Pour prevenir ce risque, on adjoint
aunblocdek symboles d'information (le message a transmettre) un certain nombre
de symboles calcules en fonction du message par l'intermediaire d'une fonction xee
a l'avance. Cela revient a ajouter une redondance au message a transmettre. Cette
concatenation des k symboles d'information avec la redondance represente un \mot de
code" x de longueur N>k. L'ensemble de tous les mots obtenus de cette facon forme
un \code en bloc" de longueur N. Connaissant la fonction , il est facile de veri er
l'appartenance d'un mot au code et de detecter une erreur eventuelle. Un \bon code"
doit compter un grand nombredemotstres distincts les uns des autres. Il doit donc
permettre d'envoyer des messages tres varies et de reduire la possibilite de confusion
entre les mots.
La plupart du temps, et pour des raisons pratiques, on utilise des codes lineaires.
Concretement, un code lineaire de longueur N sur un corps ni F est un sous groupe
additif de F N . Ces codes permettent detravailler sur des matrices plut^ot que sur des
ensembles. Ils sont donc plus faciles aetudier, a coder et adecoder. Cependant, la
linearite induit une structure qui limite quelquefois la cardinalite du code. Lorsque l'on
desire maximaliser le nombre de mots du code possible, avec une longueur et une capacite
de correction donnees, il est souvent necessaire de considerer des codes non lineaires. Les
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