Codes sur des anneaux nis et r eseaux arithm ... - Alexis Bonnecaze

1.2. LE CODE DE GOLAY BINAIRE 27
et celle de G 23 est
i : 0 7 8 11 12 15 16 23
Ai : 1 253 506 1288 1288 506 253 1
Le code G23 a pour parametres [23,12,7], il permet donc de corriger trois erreurs. Puisque
la distance minimum est 7, les cosets de poids minimum 3sontdisjoints. Le nombre
de tels cosets est
1+
23
1
!
+
23
2
!
+
23
3
!
=2 11 =2 23;12
et ils representent ainsi tous les cosets de G 23. LecodedeGolay G 23 est donc un code
parfait.
De nition 1.7 Un mot de poids 8 de G 24 est appele une octade.
Theoreme 1.6 Tout vecteur binaire depoids 5 et de longueur 24 est couvert par exactement
un mot de G 24 de poids 8.
Preuve. Si un vecteur de poids 5 etait couvert par 2 octades, alors la distance ! du code
8
serait inferieure ou egale a6. En fait, chaque mot de poids 8 couvre vecteurs
5
distincts de poids 5 et nous avons
759
8
5
!
=
Corollaire 1.4 Les mots de poids 8 (les octades) de G 24 forment un systeme de Steiner
S(5 8 24). Les autres systemes de Steiner contenus dans le code sont S(4 7 23),
S(3 6 22) et S(2 5 21):
Preuve. L'existence du systeme de Steiner se deduit du theoreme precedent. Witt
a montre que deux systemes S ; (5 8 24) di erent seulement parunreetiquetage de
points. Ainsi, S ; (5 8 24) est unique. 2
Theoreme 1.7 Les ij pour le systeme de Steiner forme par les octades sont
i # 0 759
1 506 253
2 330 176 77
3 210 120 56 21
4 130 80 40 16 5
5 78 52 28 12 4 1
6 46 32 20 8 4 0 1
7 30 16 16 4 4 0 0 1
8 30 0 16 0 4 0 0 0 1
24
5
!
:
2