Codes sur des anneaux nis et r eseaux arithm ... - Alexis Bonnecaze

1.1. LES ANNEAUX DE GALOIS 19
Exemple:
Soit R 8 = Z 2 3 = Z 8 l'anneau des entiers modulo 8.
Posons S 8 = R[X]=(f(X)) avec f(X) =X 3 +6X 2 +5X +7.
Le polyn^ome f est un b-polyn^ome et f(X) =X 3 + X +1.
L'ensemble des diviseurs de zero de S est D 8 =2S 8 de cardinal jD 8j =4 3 et le cardinal
des elements inversibles est jS ? 8j =8 3 ; 4 3 =(2 3 ; 1)4 3 .
L'anneau S 8 est une G-extension de degre 3deR 8.
En regle generale, si l'on considere un element de S, le sous anneau
fA( ):A(X) 2 R[X]g
de R est note R[ ]. C'est une extension de l'anneau R par . Dans l'exempleprecedent,
S 8 = R 8[ ]ou est une racine de f(X). L'anneau S 8 peut donc s'ecrire en tant que
module < 1 2 >.
Le prochain theoreme montre le lien profond qui existe entre le corps et l'anneau de
Galois. Sa preuve utilise le lemme suivant qui lie une racine d'un polyn^ome A(X) de
R[X] a une racine du polyn^ome residuel A(X) dansR:
Lemme 1.3 Soient A(X) 2 R[X] et 2 S tels que A( )=0 et A 0 ( ) 6= 0. Alors il
existe une unique racine 2 S du polyn^ome A(X) telle que = :
Preuve. Voir [Nec91]. 2
Theoreme 1.2 Soit S une G-extension de degre m de R et f(X) un b-polyn^ome sur R
de degre k. Alors
1. Le polyn^ome f(X) auneracine dans S si et seulement si kjm.
2. Si kjm, f(X) admet exactement k racines distinctes 1::: k dans S modulo
l'ideal pS f(X) =(X ; 1) :::(X ; k).
3. Pour tout element 2 S, onaS = R[ ] si et seulement si est une racine du
b-polyn^ome de degre m sur R.
Preuve. Voir [Nec91]. 2
Un corollaire important decetheoreme est:
Corollaire 1.1 Soit S un anneau de Galois de caracteristique p n et de cardinalite p mn ,
alors
S Zp n[X]=(f(X))
ou f(X) est un b-polyn^ome de degre m sur Zp n. Notons un tel anneau GR(pn m):
Ainsi, deux anneaux de Galois sont isomorphes si et seulement si ils ontm^eme cardinalite
et caracteristique.
Remarque. GR(pn 1) = Zp n et GR(p m) =Fpm .
Une consequence du lemme 1.3 est:
Corollaire 1.2 Soit a un entier impair, alors X a ; 1 admet une factorisation unique
dans S.