Codes sur des anneaux nis et r eseaux arithm ... - Alexis Bonnecaze

1.1. LES ANNEAUX DE GALOIS 23
1.1.6 Le relevement de Hensel
Considerons un polyn^ome h 2(X) 2 Z 2[X] de degre m, qui soit un facteur primitif de
x a ; 1 (a impair): Alors, nous savons qu'il existe un unique polyn^ome unitaire h(X) 2
Z 4[X] de degre m tel que
h 2(X) = (h(X))
h(X) divise X a ; 1 (mod 4).
La methode de Grae e [Sol89] et [Usp48] permet de determiner h(X) dont les racines
sont les carres des racines de h 2(X). Ecrivons h 2(X) =e(X) ; d(X) ou e(X) est un
polyn^ome ne contenant que des puissance paires et d(X) que des puissances impaires.
Alors h(X 2 )= (e 2 (X) ; d 2 (X)).
Exemple: si m =3eta = 7. La factorisation de X 7 ; 1 modulo 2 donne
X 7 ; 1=(X ; 1)(X 3 + X 2 +1)(X 3 + X +1):
Prenons h 2(X) =X 3 + X + 1. Alors e(X) =1etd(X) =X 3 + X. Donc
et
e 2 (X) ; d 2 (X) =;X 6 ; 2X 4 ; X 2 +1
h(X) =X 3 +2X 2 + X ; 1:
Ce procede est appele \relevement de Hensel" car c'est Hensel qui elabora un algorithme
permettant non seulement de construire le polyn^ome releve mais aussi de prouver sont
unicite (voir [Mig]). Dans [CS94], Calderbank et Sloane proposent une autre preuve de
l'existence et de l'unicite du polyn^ome.
Cette methode va nous permettre de factoriser des polyn^omes sur l'anneau Z 4 connaissant
leur factorisation binaire et ainsi de pouvoir relever des codes binaires. Dans
l'exemple precedent, nous relevons le polyn^ome generateur du code de Hamming en
longueur 7.
Repeter l'operation du relevement donne un unique polyn^ome sur Z 8. Il est donc possible
de construire un polyn^ome sur Z 2 a en utilisant (a;1) relevements de Hensel. Cette
methode permet de construire des codes sur Z 2 a. Calderbank l'appelle la \bottom up
approach", qu'il oppose a la construction descendante ou \top down approach". Cette
derniere consistantademarrer avec un code de ni sur les entiers 2-adiques, puis areduire
le polyn^ome modulo 2 a .
1.1.7 L'application trace
La fonction trace est souvent utilisee pour decrire les codes cycliques irreductibles. Elle
permet de mettre en evidence certaines proprietes des codes.
Soit K = F 2 m le corps des racines N ieme de1surF 2.Soit K l'automorphisme de Galois
K ! K
7! 2 :