Codes sur des anneaux nis et r eseaux arithm ... - Alexis Bonnecaze
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1.3. THEORIE DES INVARIANTS 33<br />
1.3 Theorie <strong>des</strong> invariants<br />
Les co<strong>des</strong> binaires auto-duaux (ou formellement auto-duaux) ont <strong>et</strong>e abondamment<br />
<strong>et</strong>udies ([CS90],[War76], [MS73],[Tsa92],[KP92], <strong>et</strong>c.). Ils adm<strong>et</strong>tent souvent de bons<br />
groupes d'automorphismes <strong>et</strong> ont <strong>des</strong> propri<strong>et</strong>es de divisibilite <strong>des</strong> poids <strong>des</strong> mots. Particulierement<br />
importants sont les co<strong>des</strong> de type II, aussi appeles co<strong>des</strong> pairs auto-duaux<br />
(even self-dual co<strong>des</strong>, en anglais). Les residus quadratiques de longueur 8m ; 1font<br />
partie de c<strong>et</strong>te famille de co<strong>des</strong>. A l'image du Golay, ilscontiennent souvent <strong>des</strong> <strong>des</strong>igns<br />
<strong>et</strong> ont de gros groupes d'automorphismes.<br />
Parallelement, il est naturel d'<strong>et</strong>udier les co<strong>des</strong> de type II quaternaires (<strong>sur</strong> Z 4). Ils<br />
se de <strong>nis</strong>sent demaniere similaire <strong>et</strong> se revelent extr^emement interessants. Nous les<br />
<strong>et</strong>udierons dans le chapitre 5. Nous verrons qu'ils perm<strong>et</strong>tent de construire <strong>des</strong> co<strong>des</strong> binaires<br />
formellement auto-duaux non lineaires, comme par exemple le code de Nordstrom-<br />
Robinson en longueur 16. Nous rappelons tres brievement les gran<strong>des</strong> lignes de la theorie<br />
<strong>des</strong> invariants qui nous sera utile lors de l'<strong>et</strong>ude <strong>des</strong> co<strong>des</strong> de type II.<br />
1.3.1 Theorie <strong>des</strong> invariants<br />
Le theoreme de Gleason (voir [Gle70]) impose <strong>des</strong> contraintes <strong>sur</strong> l'enumerateurs de poids<br />
<strong>des</strong> co<strong>des</strong> auto-duaux binaires de longueur N. Il donne ainsi une forme generale de ces<br />
enumerateurs de poids qui sont <strong>des</strong> polyn^omes homogenesdedegre N. La theorie qui<br />
perm<strong>et</strong> d'obtenir ces resultats peut ^<strong>et</strong>re utilisee dans le cadre de l'<strong>et</strong>ude <strong>des</strong> co<strong>des</strong> quaternaires.<br />
C'est la theorie <strong>des</strong> invariants. Elle fut developpee au dix-neuvieme siecle <strong>et</strong><br />
fut <strong>sur</strong>tout utilisee en combinatoire, mais elle a bien d'autres applications en particulier<br />
dans le domaine <strong>des</strong> mathematiques <strong>et</strong> de la physique (geom<strong>et</strong>rie, vision, mecanique,:::).<br />
Elle nous est utile ici pour d<strong>et</strong>erminer les enumerateurs de poids de certains co<strong>des</strong> quaternaires<br />
auto-duaux.<br />
C'est Klemm [Kle89] qui le premier a <strong>et</strong>udie les conditions satisfaites par les enumerateurs<br />
de poids compl<strong>et</strong>s de co<strong>des</strong> auto-duaux <strong>sur</strong> Z 4. Certaines transformations lineaires<br />
(dont la transformation de MacWilliams) d<strong>et</strong>erminent un groupe de substitutions G.<br />
Ce groupe est constitue par <strong>des</strong> matrices m m a coe cients complexes. Il laisse xe<br />
<strong>des</strong> polyn^omes homogenes, appeles invariants. En d'autres termes, le groupe G agit <strong>sur</strong><br />
l'anneau C[X 1 :::Xm] depolyn^omes. Nous avons:<br />
G C[X 1 :::Xm] ;! C[X 1 :::Xm]<br />
(A f) 7;! A(f) <br />
avec (A(f))(X) =f(A tr X) pour X 2 C N ou tr <strong>des</strong>igne la transposee <strong>et</strong> la composition.<br />
L'anneau <strong>des</strong> invariants de G est:<br />
R(G) =ff 2 C[X 1 :::Xm] j A(f) =f 8A 2 Gg<br />
Le nombre d'invariants depend evidemment du cardinal du groupe G: rajouter <strong>des</strong><br />
elements dans le groupe fait reduire le nombre d'invariants.
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