Codes sur des anneaux nis et r eseaux arithm ... - Alexis Bonnecaze

Chapitre 2
Codes quaternaires
L'objet de ce chapitre est d'etudier les codes lineaires sur Z 4 ainsi que leurs releves par
le lemme de Hensel.
2.1 Notions de base
De nition 2.1 Un code en blocs lineaire Cm de longueur N sur Zm est un sous espace
vectoriel de Z N m .
Par la suite, nous allons restreindre notre etude aux codes en blocs lineaires sur Z 4.
De nition 2.2 Un code quaternaire C 4 de longueur N est un code en bloc lineaire sur
Z 4, qui est un sous groupe additif de Z N 4 .
La metrique de Hamming n'est pas su samment precise lorsque l'on travaille sur Z 4,
car elle ne di erencie pas les elements de l'anneau. Dans l'anneau des entiers modulo 4,
l'inverse additif de 1 est 3.
Les elements inversibles 1 et 3 (=-1) jouent unr^ole symetriques dans l'anneau. La
metrique la plus adaptee est la metrique de Lee. SurZ 4, Les di erents poids de Lee sont
i Poids de Lee
0 0
1 1
2 2
3 1
Plus generalement, le poids de Lee peut ^etre de ni sur Zq. le poids de Lee d'un element
x 2 Zq est
WLee(x) = x si x b q
2 c
= ;x sinon
Le poids de Lee d'un vecteur u 2 Z N 4 , wtL(u), est la somme des poids de Lee des
composantes de u. Cette fonction poids permet de de nir la metrique de Lee dL( )sur
37