Codes sur des anneaux nis et r eseaux arithm ... - Alexis Bonnecaze

Chapitre 1
Preliminaires mathematiques
L'objet de ce chapitre est de presenter certains outils ou notions de base (les anneaux de
Galois, le code de Golay binaire, et la theorie des invariants) qui seront utilises dans les
chapitres suivants. Il s'agit donc avant tout de donner, ou rappeler, quelques de nitions
et proprietes permettant une comprehension plus aisee de la these.
1.1 Les anneaux de Galois
Il semble que ce soit Krull qui en 1923 [Kru23] ait etudie etdeveloppe pour la premiere
fois les anneaux de Galois, puis en 1979, Shankar [Sha79] qui les ait utilises en theorie
des codes dans le cadre d'etudes sur les codes BCH sur des anneaux. Nous allons voir
qu'il existe une analogie profonde entre les anneaux et les corps de Galois. Ainsi, le r^ole
joue par les anneaux de Galois est souvent similaire a celui joue par les corps de Galois
dans la theorie traditionnelle, les problemes centraux etant toujours des problemes de
divisibilite et de factorisation de polyn^omes.
Nous etudions ici les anneaux de Galois et les extensions galoisiennes dont les proprietes
seront utiles lors des constructions des codes. Nous ne considerons que des anneaux nis.
Un expose plus detaille sur l'etude des anneaux nis peut ^etre trouve dans [McD74b],
[Lan80] et certaines autres proprietes dans [Nec91].
Nous rappelons dans un premier temps quelques de nitions et proprietes elementaires.
1.1.1 De nitions et proprietes fondamentales
Dans toute la suite, R represente un anneau ni.
Notons l'element neutre multiplicatif 1.
Un diviseur de zero de R est un element x \qui divise" zero, c'est a dire pour qui il existe
y 6= 0 dans R tel que xy =0. Uninversible de R est un element X de R qui \divise 1".
En d'autres termes, on a xy = 1 pour un certain y dans R. L'element y est alors note x ;1 .
De nition 1.1 R est un anneau de Galois s'il est commutatif, unitaire, et si l'ensemble
de tous les diviseurs de zero est de la forme pR, p etant un entier premier.
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