Codes sur des anneaux nis et r eseaux arithm ... - Alexis Bonnecaze

1.1. LES ANNEAUX DE GALOIS 21
Preuve. Voir le theoreme 1.2 et corollaire 1.2. 2
Les facteurs qui divisent Xa ; 1 mais pas Xa0 ; 1 pour a>a0 sont appeles des facteurs
primitifs. Considerons un polyn^ome h 2, de degre m, a coe cients binaires, qui soit un
facteur primitif de X a ; 1(a impair). Alors il existe un polyn^ome unitaire h 2 Z 4[X] de
degre m tel que h 2(X) = (h(X)) et h(X) diviseX a ; 1(mod4).
De nition 1.2 Soit f un b-polyn^ome de degre m sur Z 4. L'anneau de Galois R =
GR(4m) est de ni a un isomorphisme pres comme etant Z 4[X]=(f):
Soit une racine primitive def(X) etf(X) un facteur primitif de X 2m ;1 ; 1. Alors,
l'anneau de Galois R = GR(4m)peut^etre de ni comme etant l'extension R = Z 4[ ].
L'anneau R est d'ordre 4 m . Les diviseurs de zero forment un sous groupe, 2R, d'ordre
2 m . Le groupe des inversibles R ? = R n 2R qui est d'ordre (2 m ; 1)2 m , est un produit
direct de 2 groupes G 1 et G 2. D'apres le theoreme 1.3, Le sous groupe G 1 est un groupe
cyclique d'ordre a, que l'on va noter T ? car il est souvent appele systeme de Teichmuller
lorsqu'on lui adjoint 0. On pose alors T = T ? [f0g. L'ensemble
T = f0 1
2 :::
2 m ;2 g
peut ^etre decrit comme l'ensemble des zeros dans R de l'equation X 2m ;X. Notons que,
contrairement a R=2R, T n'a pas la structure d'un corps de Galois GF (2m).
Les elements de R admettent une representation unique `multiplicative' ou `additive'.
Dans la premiere representation, que l'on appelle aussi 2-adique, un element c 2 R s'ecrit
c = a +2b ou a et b appartiennent a T .
Lemme 1.5 Tout element de R admet une ecriture unique sous la forme c = a +2b ou
a et b appartiennent a T:
Preuve. La cardinalite deT est 2m ; 1. De plus, considerons deux ecritures di erentes
de c: c = a1 +2b1 et c = a2 +2b2: En elevant au carre les deux membres de l'egalite, on
obtient a2 1 = a2 2, eta1 = a2 pour a1a22 T . Il s'en suit que b1 = b2. 2
Soit l'application : c 7! a. Lenoyau de est le groupe G2 des elements de la forme
1+2b, ou b 2 T . Ainsi,
(c) =c 2m
c 2 R:
Remarque. On en deduit facilement (car c2m l'ensemble des carres dans l'anneau R.
L'application satisfait les equations [Yam90]
=(c2r;1) 2 ) que l'ensemble T represente
(cd) = (c) (d) et (c + d) = (c) (d)+2(cd) 2m;1
:
Un resultat classique de Paley et Todd dit que l'ensemble descarres dans un corps de
Galois de taille q =4n ; 1 forme un ensemble de di erences. Chaque inversible dans le
corps peut s'ecrire de n facons distinctes comme la di erence de deux carres (n;1 facons
pour la di erences de deux carres non nuls). Le lemme precedent montre que pour un
anneau de Galois R = GR(4m), un diviseur de zeronepeutpass'ecrire comme la
di erence de deux carres. Le prochain lemme montre que tout inversible dans l'anneau
s'ecrit d'une maniere unique comme di erence de deux carres. Les preuves du lemme et
theoreme suivants sont presentees au chapitre 3 dans la section \Galois rings over Z 4".