Codes sur des anneaux nis et r eseaux arithm ... - Alexis Bonnecaze

TABLE DES MATIERES 13
L'utilisation de relevements successifs produit un code sur Z 2 a (a >1) et un code de ni
sur les entiers 2-adiques, Z 2 1, que R. Calderbank nomme \code universel". Les codes
de nis sur Z 2 a peuvent ^etre obtenus a partir du code universel par reduction modulo
2 a . L'etude des codes cycliques binaires et quaternaires peut aider a la comprehension
des codes universels. Cependant, les codes quaternaires sont d'un inter^et considerable
en eux-m^eme. Nous etudions leurs idempotents et, dans le chapitre 3, decrivons une
methode permettant dedeterminer les enumerateurs de poids complets des classes
laterales de ces codes. Nous adaptons au cas quaternaire le travail de P. Camion dans
[CCD92] et travaillons sur des partitions regulieres. Nous montrons que le code de Hamming
quaternaire etendu admet dix classes laterales d'enumerateurs de poids complets
distincts.
Les codes residus quadratiques binaires representent une famille de codes cycliques
des plus interessantes. Determiner la capacite de correction d'erreurs asymptotique de
ces codes est enonce comme un probleme de recherche dans le livre de MacWilliams et
Sloane [MS77] et n'a toujours pas ete resolu. Nous examinons en detail les \releves" de
ces codes, les residus quadratiques quaternaires. Nous construisons leurs idempotents,
proposons une borne en racine carree sur le poids de Lee minimum et etudions la relation
avec la transformee de Fourier nie. L'exemple le plus interessant de ces codes est le
relevement de Hensel du code de Golay que l'on nomme le Golay quaternaire. Tout
comme le code de Golay binaire, il possede des \designs". Il fait partie de la famille des
codes de type II que nous de nissons au chapitre 5.
Les codes de typeIIsont des codes auto-duaux dont tous les poids euclidiens sont
des multiples de 8. Nous caracterisons leurs enumerateurs de poids en utilisantlatheorie
des invariants. Nous determinons de cette facon les enumerateurs de poids des codes
residus quadratiques quaternaires en longueur 32 et 48.
Le chapitre 6 decrit une methode permettant de construire des reseaux unimodulaires
pairs a partir de codes auto-duaux sur Z 4. La classe des reseaux unimodulaires
pairs inclut le reseau de Gosset E 8 et le reseau de Leech 24. Nos constructions de
reseaux utilisent une construction A adaptee au cas quaternaire. Un code quaternaire C
determine un reseau (C) qui consiste en tous les vecteurs acoe cients entiers qui sont
congrus a un mot de code modulo 4. Nous prouvons que si C est un code de type II,
(C)=2 est un reseau pair et unimodulaire. Nous montrons que quand q = ;1 (mod 8)
est une puissance d'un nombre premier, les codes residus quadratiques etendus quaternaires
satisfont cette condition. C'est le cas du code de Golay quaternaire qui permet de
determiner le reseau de Leech 24 de cette facon. Cette construction appara^t comme la
plus simple connue acejourdececelebre reseau.