Codes sur des anneaux nis et r eseaux arithm ... - Alexis Bonnecaze

1.1. LES ANNEAUX DE GALOIS 17
1.1.2 Parametres d'un anneau de Galois R
A partir de maintenant et jusqu'a la nduchapitre, R represente un anneau de Galois
de caracteristique p n et D = pR l'ensemble des diviseurs de zero de R.
Notons \n" lesymbole representant la soustraction ensembliste. Le groupe multiplicatif
R ? de l'anneau est
R ? = R n pR = R n D
puisque les diviseurs de zero sont lesseulselements non inversibles dans un anneau ni.
Les elements de R ? sont donclesinversibles de R et D est l'unique ideal maximal de R.
De plus l'anneau
R = R=D
est le corps de Galois GF (q) (q etant une puissance de p, p r ). Notons 1l'element neutre
de R. Nous avons donc 1=1+D:
Posons D t = p t R et t 2f0::: n; 1g. On a alors
D n;1 6=0 et D n =0
Et la chaine suivante d'ideaux admet des inclusions strictes:
R = D 0 D = pR :::D n;1 = p n;1 R D n = p n R =0:
Tout comme la caracteristique, le cardinal de l'anneau est importantpourladetermination
de R. Nous verrons que ces deux parametres determinent completement, a isomorphisme
pres, l'anneau de Galois. Nous allons prouver que le nombre d'elements de l'anneau R
et du groupe multiplicatif R ? sont
jRj = q n jR ? j =(q ; 1)q n;1 :
Il su t pour cela de prouver que pour chaque t 2f0::: n; 1g nous avons l'egalite
jp t R=p t+1 Rj = q: Posons Rt = p t R=p t+1 R. R est visiblement un espace vectoriel sur
R = GF (q). De plus dim R Rt = 1. En e et considerons 2 p t R n p t+1 R,nousavons
R = p t R et R = Rt: Ainsi, jRj = q n et le cardinal de R ? decoule immediatement.
1.1.3 Extensions de l'anneau de Galois R
R = R=pR est appele corps de classe residuelle de l'anneau de Galois R de caracteristique
p n . Ilexisteunepimorphisme d'anneau naturel R ! R qui peut s'etendre en epimorphisme
d'anneau des polyn^omes
R[X] ! R[X] R[X]=pR[X]:
Soit A(X) = P aiX i 2 R[X] un polyn^ome. Son image par l'epimorphisme est
A(X) = X aiX i 2 R[X]:
Un b-polyn^ome (basic irreducible polynomial en anglais) f(X) 2 R[X] sur R est un
polyn^ome unitaire tel que f(X) est un polyn^ome irreductible sur le corps R: Nous allons