Codes sur des anneaux nis et r eseaux arithm ... - Alexis Bonnecaze
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2.6. IDEMPOTENTS DES CODES CYCLIQUES QUATERNAIRES 51<br />
2.6 Idempotents <strong>des</strong> co<strong>des</strong> cycliques quaternaires<br />
Calderbank <strong>et</strong> Sloane [CS94] ont montre que tout code cyclique quaternaire est de<br />
la forme (f2g) ou 2g divise 2f Lorsque 2g = 2f, le code cyclique est engendre<br />
par un polyn^ome unique f. Dans [PQ95], Vera Pless <strong>et</strong> Zhongqiang Qian prouvent<br />
independamment que tout code cyclique quaternaire adm<strong>et</strong> <strong>des</strong> generateurs de l'une <strong>des</strong><br />
formes suivantes<br />
(f) (2g) (fh2fg)ou fgh = x N ; 1 <strong>sur</strong> Z 4:<br />
Ce resultat perm<strong>et</strong> de d<strong>et</strong>erminer facilement les generateurs du code dual.<br />
Nous donnons ici un resultat general concernant les idempotents <strong>des</strong> co<strong>des</strong> cycliques<br />
quaternaires engendres par un seul polyn^ome f.<br />
Lemme 2.2 Soit g 2 le polyn^ome generateur d'un code cyclique binaire (g 2) <strong>et</strong> soit g le<br />
relevement de Hensel de g 2.<br />
(1) Considerons f 2 (g) tel que f 2,lareduction modulo 2 de f, engendre lecode<br />
cyclique binaire (g 2).<br />
Alors (f) =(g).<br />
(2) j(g)j = j(g 2)j 2 .<br />
(3) Soit 2 l'idempotent du code cyclique binaire (g 2) <strong>et</strong> soit 2 Z 4[x] tel que<br />
2 (mod 2). Alors = 2 est l'unique generateur idempotent de g.<br />
Preuve. Pour montrer (2) il su t d'observer que g <strong>et</strong> g 2 sont <strong>des</strong> polyn^omes unitaires<br />
de m^eme degre.<br />
Pour prouver (1) on considere l'homomorphisme dereduction modulo 2. Par c<strong>et</strong>te<br />
application, l'image de f est f 2 = g 2, <strong>et</strong> son noyau inclut (2f) =(2g). Ainsi<br />
<strong>et</strong><br />
j(f)j j(2g)j j(g 2)j = j(g 2)j 2<br />
(f) =(g):<br />
Pour prouver (3) on peut ecrire, puisque ( 2)=(g2), que = g +2a pour <strong>des</strong><br />
polyn^omes a 2 Z4[x]. Alors = 2 = 2g2 ,<strong>et</strong> appartient au code cyclique (g).<br />
2<br />
Puisque 2 2 (mod 2), <strong>et</strong> que 2 engendre (g2), on deduit de (1) que engendre<br />
(g). Puisque 2 (mod 2) on peut ecrire que = 2 = +2b pour un polyn^ome<br />
2 2 b 2 Z4[x]. On a alors = = +2b = <strong>et</strong> est un idempotent. La preuve de l'unicite<br />
est similaire a celle que l'on peut trouver dans [MS77, Chapitre 8]. 2
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