Codes sur des anneaux nis et r eseaux arithm ... - Alexis Bonnecaze

1.3. THEORIE DES INVARIANTS 35
Proposition 1.1 Soit d 1d 2:::dm les degres des di erents generateurs primaires d'un
groupe de matrices G. Alors
(a) le nombre degenerateurs secondaires est
t = d1d2 :::dm
jGj
(b) les degres (avec leurs multiplicites) des generateurs secondaires sont les exposants
de la fonction generatrice
S( ):
mY
i=1
(1 ; di )= e1 + e2 + :::+ et :
Il a ete prouve [ZS60] que pour tout groupe ni de matrices m x m a coe cients complexes,
il existe toujours un base de Cohen-Macaulay pourlesinvariants de G. En d'autres
termes les anneaux d'invariants sont Cohen-Macaulay.
Un autre avantage d'avoir une bonne base de l'anneau R(G) est qu'il permet de retrouver
la serie de Molien de G. En e et celle-ci peut toujours s'ecrire sous la forme suivante:
Soit di le degre defi,
S( ) =
8
><
>:
Q 1
m
i=1 (1; d si l = m
i )
Pl d
1+
j
Q j=m+1
m
i=1 (1; di ) sil>m:
(1.6)
Reciproquement, il n'est pas vrai de dire que l'on peut deduire une bonne base de l'anneau
a partir de la serie de Molien puisque Stanley a montre (voir [MS77] page 616) que
l'ecriture (1.6) n'est pas unique.
1.3.2 Le package Invar de Maple et le logiciel Macaulay
Gregor Kemper a developpe lepackage Invar de Maple. Ce package determine l'anneau
des invariants d'un groupe de permutations ou d'un groupe lineaire ni sur Q (ou une
extension de Q).
La fonction invring: Plusieurs fonctions sont disponibles mais la principale fonction
s'appelle invring. Elle est basee sur le theoreme suivant (voir [HR74] pour la preuve).
Theoreme 1.10 Soit K un corps de caracteristique 0 et G un sous groupe ni du groupe
lineaire general de dimension m. Soit K la cloture algebrique de K et R(G) l'anneau
des invariants de G. Nous avons:
(a) Il existe des invariants s 1:::sm 2 R(G), homogenes qui satisfont la propriete
suivante (P):
pour tout 1::: m 2 K,
si( 1::: m) =08i =1:::m , 1 = :::= m =0: