Codes sur des anneaux nis et r eseaux arithm ... - Alexis Bonnecaze

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24 CHAPITRE 1. PRELIMINAIRES MATHEMATIQUES L'application trace sur K est de nie comme suit : tr : K ! Z 2 u 7! P m i=1 i K (u): Dans l'anneau de Galois R, onde ni de maniere similaire la trace T de R dans Z 4. Soit R l'automorphisme d'anneau de R R : R ! Z 4 v = a +2b 7! a 2 +2b 2 : R est aussi appele l'automorphisme de Frobenius [Yam90]. De nition 1.3 L'application trace deR est de nie par T : R ! Z 4 v 7! P m i=1 Cette fonction est clairement lineaire sur R. i R(v): Elle est de plus avaleur dans Z 4 = fv 2 R j R(v) =vg car 8v 2 R m R Elle admet les proprietes suivantes: 1. 8v 2 R 8i 2 N T( i R(v)) = T (v) 2. 8a 2 R (a =0) () (8v 2 R T (av) =0) (v) =v. Il est important de remarquer que l'application qui atoutelement a de R fait correspondre la fonction : R ! Z 4 v 7! T (av) est un isomorphisme de l'espace vectoriel R sur celui des formes lineaires sur R. 1.2 Le code de Golay binaire Les notions de designs et groupes d'automorphismes sont intimement liees. Le code de Golay binaire par exemple contient des 5-designs et son groupe d'automorphismes, le groupe de Mathieu est 5-transitif. Cela signi e que si l'on se donne cinq symboles distincts i 1:::i 5 et cinq autres symboles distincts j 1:::j 5,ilexisteunelement du groupe tel que ik = jk pour k =1:::5. La presence de designs dans le code est interessante d'un point de vue combinatoire. Elle signi e aussi que le code a une structure qui va simpli er sa comprehension et dans certains cas son decodage. La connaissance des proprietes combinatoires du code de Golay binaire est interessante de notre point de vue car elle facilite la comprehension du releve du code de Golay. Dans un premier temps, nous presentons brievement les de nitions et proprietes fondamentales de la theorie des \designs". Il existe une nombreuse bibliographie parmi laquelle [AK92] et [CS88], qui developpent plus en detail cette theorie. Nous nous interessons ensuite plus precisememt aucodedeGolay. Nous passons en revue ses di erentes proprietes et donnons une de nition de son groupe d'automorphismes. Pour nir, nous introduisons l'outil qui permet de travailler sur les mots du code de Golay, le MOG. Nous nous servirons de cet outil au chapitre 4 pour determiner la distance de Lee minimum du releve de Hensel du code de Golay binaire.
1.2. LE CODE DE GOLAY BINAIRE 25 1.2.1 Combinatoire Par la suite nous appelons k-ensemble un ensemble de k elements. De nition 1.4 Soit X un v-ensemble, dont les elements sont appeles des points. Un t ; (vk ) design est une collection de k-sous-ensemble de X distincts (les blocs) ayant la propriete que tout t-ensemble de X est contenu dans exactement blocs. Remarque. Si k =2,unt ; (vk ) design est un graphe non oriente dont les points sont les sommets et les blocs les arêtes. Si t = 2, le graphe est complet puisque toutes les arêtes possibles sont presentes. Si t 2et =1,let-design est appele unsysteme de Steiner ou Steiner t-design que l'on note S(t k v). C'est le cas du plan de Fano qui est un 2 ; (7 3 1) design. Plus generalement, le plan projectif d'ordre n estun2; (n 2 + n +1n+1 1) design. 3 1 0 2 Figure 1.1: Le plan projectif d'ordre 2 Theoreme 1.5 Considerons un t ; (vk ) design. Alors pour tout entier s tel que 0 s t, le nombre s de blocs contenant s points distincts est independant des s points: s = 6 (v ; s)(v ; s ; 1) :::(v ; t +1) (k ; s)(k ; s ; 1) :::(k ; t +1) : Par de nition t = .Lesentiers s peuvent être determines a partir de la recurrence s = (v ; s) (k ; s) s+1: Corollaire 1.3 Dans un t ; (vk ) design, le nombre total de blocs est b = ! v t ! k t 4 5
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