Codes sur des anneaux nis et r eseaux arithm ... - Alexis Bonnecaze

2.2. L'APPLICATION GRAY-MAP 45
Theoreme 2.5 Un code binaire quelconque C de longueur 2N (N 2 N) estZ 4-lineaire
si et seulement si ses coordonnees satisfont
u v 2 C ) u + v +(u + (u)) (v + (v)) 2 C (2.4)
ou est l'application representee en (2.3), et est le produit composantes par composantes
de deux vecteurs.
Preuve. Voir [HKC + 94]. 2
Exemple: Hammons et al. montrent dans[HKC + 94] que le code de Golay binaire G 24
n'est pas Z 4-lineaire. Ils procedent par contradiction en considerant 2 mots u et v de
G 24 qui veri ent
(u + (u)) (v + (v)) =2 g 24 :
Soient
u =
1 1 1 1 0 0
1 1 1 1 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
v =
et la permutation representee a la gure 2.2. Alors on a
0 1 1 1 1 1
1 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0
Figure 2.2: Description de la permutation a l'aide du MOG.
u + (u) =
0 0 1 1 0 0
0 0 1 1 0 0
0 0 1 1 0 0
0 0 1 1 0 0
v + (v) =
1 1 1 1 1 1
1 1 0 0 0 0
0 0 1 1 0 0
0 0 0 0 1 1
et (u + (u)) (v + (v)) est de poids 4 .
Par contre, le code de Nordstrom-Robinson (16 256 6) (voir [FST93]) est lui Z 4lineaire
et peut donc ^etre de ni par une matrice generatrice a coe cients sur Z 4:
Theoreme 2.6 L'image binaire (C 4) d'un code quaternaire C 4 est lineaire si et seulement
si
a b 2 C 4 ) 2 (a) (b) 2 C 4:
: