Codes sur des anneaux nis et r eseaux arithm ... - Alexis Bonnecaze

2.1. NOTIONS DE BASE 41
Si C est lineaire, alors
et on retrouve l'identite de MacWilliams:
et la transformation de MacWilliams
P a2C(;1) (ab) = jCj si b 2 C ?
= 0 sinon
1
jCj WC(W + X W ; X) =W C ?(WX)
P (WX) ! P (W + X W ; X):
Cependant, la transformee de MacWilliams ne caracterise pas les codes lineaires. Il
existe en e et des codes non lineaires dont les enumerateurs de poids satisfont cette
transformee. Les codes de Kerdock et Preparata (voir [MS77], chap 15) en sont lemeilleur
exemple.
L'identite de MacWilliams peut ^etre etendue naturellement au cas quaternaire. Soit
C 4 un code quaternaire, l'enumerateur de poids complet du code dual C ? 4 en fonction
du cweC4(WXYZ) est:
cwe C ? 4 (WXYZ)= 1
jC 4j cwe C4(W +X+Y +Z W+iX;Y ;iZ W ;X+Y ;Z W ;iX;Y +iZ) :
Lorsque le code est auto-dual, l'identite de MacWilliams peut ^etre representee par la
matrice.
2
1
6
1=2
6 1
6
4 1
1
i
;1
1
;1
1
3
1
;i 7
;1 5
1 ;i ;1 i
:
L'enumerateur de poids symetrique du code dual C ? 4 en fonction du sweC4(WXY) est
swe C ? 4
(WXY)= 1
jC 4j sweC4(W +2X + YW ; YW ; 2X + Y ) :
Les equations correspondantes concernant les enumerateurs de poids de Lee et de Hamming
sont
LeeC ? (WX)=
4
1
jC4j LeeC4(W + X W ; X)
Ham C ? 4
(WX)= 1
jC 4j HamC4(W +3X W ; X):
Deux codes sont ditsformellement duaux (ou pseudo duaux) si leurs enumerateurs de
poids veri ent l'identite de MacWilliams. Ces codes ne sont donc pas toujours lineaires.
Cependant Claude Carlet a montre dans [Car] que si l'on considere un code C q-aire,
l'enumerateur de poids exact de C satisfait l'identite de MacWilliams si et seulement
si C est lineaire. Il prouve que (pour j =0:::q; 1 k =1:::N et ! = e 2i =q ), les
propositions suivantes sont equivalentes: