Codes sur des anneaux nis et r eseaux arithm ... - Alexis Bonnecaze

2.2. L'APPLICATION GRAY-MAP 43
La Gray-map est aussi l'application de Z N 4 vers ZN 2 Z N 2
telle que
(a 1:::aN) 7! ((u 1:::uN) (v 1:::vN))
ou pour tout i 2f1:::Ng ai =2ui +(ui + vi mod 2):
L'image d'un code quaternaire C 4 de longueur N est le code binaire C de longueur 2N.
Le code C est appele l'image binaire de C 4. Il n'est pas forcement lineaire. Cependant,
lorsque C est lineaire et la matrice generatrice de C 4 est de la forme 2.1, alors la matrice
generatrice de C est de la forme (voir [HKC + 94])
2
6
4
Ik1 M (N) Ik1 M (N)
0 Ik2 P 0 Ik2 P
0 0 (N) Ik1 M (N)
L'application Gray-map permet donc de construire des codes binaires a partir de codes
quaternaires. Sa propriete essentielle est d'^etre une isometrie. Ainsi, nous allons voir
que si la disposition des mots dans l'image binaire C ne lui permet pas en general d'^etre
lineaire, C est tout de m^eme de distance invariante.
2.2.1 Proprietes de l'application Gray-map
Theoreme 2.2 L'application Gray-map est une isometrie
3
7
5 :
(Z N 4 Lee distance) ! (Z 2N
2 Hamming distance):
Preuve. A partir de la de nition de la metrique de Lee on a
WH( (c)) = WLee(c) c 2 Z N 4
dH( (c 1) (c 2)) = dLee(c 1c 2) c 1c 2 2 Z N
4
ou WH et dH representent respectivement le poids et la distance de Hamming pour les
mots binaires. 2
L'application ne conserve pas la propriete delinearite. Cependant elle conserve la
propriete de distance invariante car c'est une isometrie:
Theoreme 2.3 Soit C 4 un code sur Z 4 ayant la propriete de distance invariante (avec
la distance deLee). Alors son image binaire (C 4)=C est de distance invariante (avec
la distance de Hamming).
Ainsi, l'image binaire d'un code quaternaire est de distance invariante. Un code C 2 Z 2 2N
est dit Z 4-lineaire s'il peut ^etre de ni comme etant l'image par la Gray-map d'un code
quaternaire, c'est a dire si
N 9 C4 2 Z4 tq (C4) =C:
On a alors la propriete sur les distributions de poids
HamC(WX)=LeeC4(WX)=sweC4(W 2 WXX 2 ):