Codes sur des anneaux nis et r eseaux arithm ... - Alexis Bonnecaze

2.1. NOTIONS DE BASE 39
et contient4 N;k1;k2 2 k2 mots de code. Dans l'exempleprecedent, C est un code auto-dual
de dimension 2, il contient donc 16 mots et est de longueur 4.
Un code est dit isodual s'il est equivalent a son dual.
L'automorphisme de groupe Aut(C 4)deC 4 consiste en toutes les permutations signees
sur les coordonnees qui preservent l'ensemble des mots du codes.
2.1.1 Enumerateurs de poids
Il existe plusieurs emumerateurs de poids (et distances) associes a C 4. Dans [Cam79], P.
Camion introduit la notion d'enumerateur de poids exact qui de nit totalement le code.
L'enumerateur de poids exact d'un code quaternaire est un polyn^ome en les variables
Xjk (j =0 1 2 3 k =1:::N):
eweC4(Xjk) = X
NY
a2C4 k=1
et l'enumerateur de distances exact est de ni par:
edeC4(Xjk) = 1
jC 4j
X
NY
ab2C4 k=1
Xa kk
Xa k;b kk:
Notons que le code C 4 est lineaire si et seulement silesemumerateurs de poids et de
distances exacts sont identiques. En e et, C 4 est lineaire si et seulement si pour chaque
mot c 2 C 4, il existe une paire ordonnee (b c) telle que a = b ; c.
Remarque. La di erence entre les notions de linearite et de distance invariante peut
^etre decrite de la facon suivante:
Cestlineaire , ewe(a + C) =ewe(C) a 2 C
C est de distance invariante , we(a + C) =we(C) a 2 C
ou we represente la distribution de poids de Hamming.
Lorsque seule la composition des mots nous interesse (et non la place des elements dans
le mot), on identi e les variables Xjk (k =1:::N)avec Xj. On obtient un polyn^ome
en quatre variables X0 X1 X2 X3. Lorsque nous n'utilisons pas l'enumerateur de
poids exact, nous adoptons par commodite les notations de [HKC + 94] et [BSC95] et
appelons ces variables respectivement W XYZ.
L'enumerateur de poids complet (ou c.w.e.) de C4 est:
cweC4(WXYZ)= X
a2C4
W n0(a) X n1(a) Y n2(a) Z n3(a) (2.2)
ou ni(a) represente le nombre de composantes de a qui sont congrus a i modulo 4.
Cependant, l'existence de permutations signees nous fera le plus souvent utiliser ici
l'enumerateur de poids symetrique (ou s.w.e), obtenu en identi ant X et Z dans (2.2):
sweC4(WXY)=cweC4(WXYX) :