Codes sur des anneaux nis et r eseaux arithm ... - Alexis Bonnecaze

2.3. DUALITE FORMELLE ET Z 4-DUALITE 47
Exemple B: Le code 0 8 construit par Conway et Sloane [CS93] a pour matrice generatrice
G 0 8
=
2
6
4
1 1 1 1 0 0 0 2
0 0 0 2 1 1 1 1
0 2 0 2 0 0 0 0
0 0 2 2 0 0 0 0
0 0 0 0 0 2 0 2
0 0 0 0 0 0 2 2
et pour distance minimale 4. D'apres la forme de G 0 8 ,onpeutdeduire que ( 0 8)est
lineaire. Il n'existe que trois codes auto-duaux de longueur 16 et distance minimale
4, parmi lesquels le code F 16 de Pless dans [Ple72]. Les deux autres codes ont une
distribution de poids di erente de celle de F 16. Or ( 0 8)etF 16 ont des distributions de
poids identiques. Ainsi
( 0 8) = F 16:
La matrice generatrice de F 16 est
GF16 =
2
6
4
1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1
1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1
1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0
2.3 Dualite formelle et Z4-dualite
Les enumerateurs de poids de codes Z 4-duaux satisfont l'identite de MacWilliams car ils
sont images de codes duaux quaternaires par la Gray-map. La notion de Z 4-dualite est
donc plus forte que la notion de dualite formelle. On a
Z 4-dualite ) dualite formelle.
Dans [Car], Claude Carlet remarque que la notion d'enumerateur de poids complet ne
permet pas de faire une distinction entre la Z 4-dualite et la dualite formelle (ou m^eme
la dualite algebrique). La notion d'enumerateur de poids exact est quant a elle trop
forte puisque les images binaires de codes quaternaires ne sont pas, en toute generalite,
lineaires. C. Carlet introduit alors la notion de classe d'equivalence d'enumerateurs de
poids exact. Nous la decrivons tres brievement.
Le cwe d'un code C de longueur 2N peut ^etre obtenu a partir de l'enumerateur de
poids exact en identi ant les mon^omes de C ayant m^eme poids complet. Une maniere
d'identi er ces mon^omes est de considerer des classes d'equivalences. Pour cela, on
considere un groupe de permutations sur f1:::2Ng et l'ideal IG de A = R[Xjk j =
0 1 k =1:::2N], engendre par la famille de polyn^omes
(
2NY
k=1
Xa kk ; 2NY
k=1
3
7
5
Xa k (k)) ou a 2 C et 2 G:
3
7
5